Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину $x\,$, искомую функцию $y\,$ и её производные, то есть соотношение вида:

$\Phi (x, y', y'',..., y^{(n)})=0\,$

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией $y\,$ от переменной $x\,$ и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

$y=x\varphi(y')+\psi(y')\,$

где $\varphi\,$ и $\psi\,$ – неизвестные функции от $y'\,$, причём считаем, что функция $\varphi(y')\,$ отлична от $y'\,$. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных $x\,$ и $y\,$.

Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр $y'=p\,$. Тогда уравнение запишется:

$y=x\varphi(p)+\psi(p)\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(1)\,$

Замечая, что $p={dy \over dx}$ продифференцируем обе части этого уравнения по $x\,$. Пишем:

$p=\varphi(p)+[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx}\,$

Преобразуем его в вид

$p-\varphi(p)=[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx}\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(2)\,$

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении $p=p_0\,$, удовлетворяющему условию $p_0-\varphi(p_0)=0\,$. В самом деле, при любом постоянном значении $p\,$, производная ${dp \over dx}\,$ тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению $p=p_0\,$, то есть, ${dp \over dx}=p_0\,$, является линейной функцией от $x\,$, поскольку производная ${dp \over dx}\,$, постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство $(1)\,$ значение $p=p_0\,$, то есть

$y=x\varphi(p_0)+\psi(p_0)\,$.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение $(2)\,$ в виде

${dx \over dp}-x{\varphi'(p) \over p-\varphi(p)}={\psi'(p) \over p-\varphi(p)}\,$

и будем считать $x\,$, как функцию от $p\,$. Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\,$ от $p\,$. Решая его, найдём

$x=\omega(p, C)\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(3)\,$

Исключая параметр $p\,$ из уравнений $(1)\,$ и $(3)\,$ найдём общий интеграл уравнения $(1)\,$ в виде

$\Phi(x, y, C)=0\,$.

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

$y=xy'+\psi(y')\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(1)\,$

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда $\varphi(y')=y'\,$. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра. Найдём его решение.

Положим $y'= {dy \over dx}=p\,$. Тогда пишем:

$y = xp+\psi(p)\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(2)\,$

Продифференцируем это уравнение по $x\,$, так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что $p={dy \over dx}\,$, пишем

$p=x{dp \over dx}+p+\psi'(p){dp \over dx}\,$

Преобразуем его в вид

$[x+\psi'(p)]{dp \over dx}=0\,$

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

${dp \over dx}=0\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(3)\,$

и

$[x+\psi'(p)]=0\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(4)\,$

Интегрируя уравнение $(3)\,$ получим $p=C=const\,$. Подставим значение $p\,$ в уравнение $(2)\,$ найдём его общий интеграл

$y=xC+\psi(C)\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(5)\,$

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения $(4)\,$ найдём $p\,$ как функцию от $x\,$, затем подставим её в уравнение $(2)\,$, то получим функцию

$y=xp(x)+\psi[p(x)]\,$ $\longleftrightarrow\,$ $(6)\,$

Которая, как легко показать, является решением уравнения $(1)\,$. Действительно, в силу равенства $(4)\,$ находим

${dy \over dx}=p+[x+\psi'(p)]{dp \over dx}\,$

Но поскольку $[x+ \psi'(p)]{dp \over dx}=0\,$, то ${dy \over dx}=p\,$. Поэтому подставляя функцию $(6)\,$ в уравнение $(1)\,$, получаем тождество

$xp+\psi(p)=xp+\psi(p)\,$.

Решение $(5)\,$ не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной $C\,$. Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра $p\,$ из уравнений

$y=xp+\psi(p)\,$ и $x+\psi'(p)=0\,$

или, что без разницы, исключением $C\,$ из уравнений

$y=xC+\psi(C)\,$ и $x+\psi'(C)=0\,$

Следовательно, особое решение уравнения Клеро, определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом $(5)\,$.

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

$Y-y = y'(X-x)\,$

или

$Y=y'X+(y-xy')\,$

Любое свойство касательной выражается соотношением между $(y - xy')\,$ и $y'\,$:

$\Phi(y - xy', y')=0\,$

Решая его относительно $(y - xy')\,$, придём к уравнению вида

$y=xy'+\psi(y')\,$, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В.И. Смирнов "Курс высшей математики", том второй, издательство "Наука", Москва 1974.

Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985

К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение
• Лагранж, Жозеф Луи
• Клеро, Алекси Клод
• Касательная прямая
• Огибающая
• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Особое решение

Ссылки

• Мир математических уравнений
• Образовательный математический сайт "Exponenta.ru"
• Онлайн энциклопедия "Кругосвет"
• Оригинальный текст Клеро (1734)