- Коммутант
-
Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант — это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной структуре (группе, аглебре) коммутативно: для всех пар элементов . Таким образом коммутант позволяет измерять степень некоммутативности умножения. Абстрактно он определяется как ядро гомоморфизма данной структуры в её абелизацию.
Коммутант группы
Коммутант группы (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы . Обычно коммутант группы обозначается , , или . Он является наименьшей нормальной подгруппой, фактор по которой абелев.
Здесь обозначает подгруппу, порождённую указанным множеством элементов. Выражение называется коммутатором элементов и , обозначается .
Более общо, если — подмножества , то их взаимным коммутантом называют подгруппу .
- Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
- Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы по её коммутанту называется абелизацией и обозначается или .
- Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
- Абелизацию группы можно вычислить как первые целочисленные гомологии группы :
- Забывающий функтор из категории абелевых групп в категорию всех групп имеет левый сопряжённый — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидно действующий на морфизмах.
- Теорема Гуревича в топологии утверждает, что для связного клеточного пространства . Таким образом теорию гомологий в топологии можно рассматривать как абелизацию теории гомотопий. Это утверждение можно сделать точным (теорема Дольда—Тома).
Коммутант алгебры
Пусть — некоторая алгебра. Её коммутантом называется двусторонний идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.
Здесь — коммутатор элементов ,, — идеал, порождённый данным множеством.
Литература
- Курош А.Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
- Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.