Функция Минковского

Функция Минковского.

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция $?(x)$ на отрезке $[0,\;1]$, обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида $(a+\sqrt{b}),$ где $a$ и $b$ рациональные) на отрезке $[0,\;1]$ в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Построение

Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна — Броко

В концах отрезка функция Минковского задаётся как $?(0)=0$ и $?(1)=1$. После этого, для любых двух рациональных чисел $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, для которых $ad-bc=1$ — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте $\frac{a+c}{b+d}$ определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

$?\left(\frac{a+c}{b+d}\right)=\frac{1}{2}\left(?\left(\frac{a}{b}\right)+?\left(\frac{c}{d}\right)\right).$

Так,

$?\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{?(0)+?(1)}{2}=\frac{1}{2},$

$?\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{?(0)+?(1/2)}{2}=\frac{1}{4},$

$?\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{?(1/2)+?(1)}{2}=\frac{3}{4}$

и так далее.

Поскольку последовательности

$\frac{0}{1},\;\frac{1}{1},$

$\frac{0}{1},\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{1},$

$\frac{0}{1},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{1}{1},$

в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка $[0,\;1]$ (см. дерево Штерна — Броко) — такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках $[0,\;1]$. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа $[0,\;1]$ — иными словами, плотное в $[0,\;1]$ множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции $?\colon[0,\;1]\to[0,\;1]$ — и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепной дроби

Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку $x\in[0,\;1]$, раскладывающуюся в цепную дробь как $x=[0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots]$, функция Минковского переводит в

$?(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{2^{a_1+\ldots+a_k-1}}.$

Иными словами, точка

$x=\frac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\ldots}}}$

переходит в точку

$?(x)=0,\;\underbrace{0\ldots 0}_{a_1-1}\underbrace{1\ldots 1}_{a_2}\underbrace{0\ldots 0}_{a_3}\underbrace{1\ldots 1}_{a_4}\ldots_{(2)}.$

Самоподобие

Пусть точка $x\in[0,\;1]$ задаётся цепной дробью $x=[0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots]$. Тогда увеличение $a_1$ на единицу, то есть, переход к $y=[0;\;a_1+1,\;a_2,\;\ldots]$ задаётся отображением

$f\colon x\mapsto y=\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}=\frac{x}{1+x},$

а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

$?\left(\frac{x}{1+x}\right)=\frac{?(x)}{2}.\qquad(1)$

С другой стороны, из симметрии относительно $1/2$ медиантной конструкции легко видеть, что

$?(1-x)=1-?(x).\qquad(2)$

Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения $g(x)=1-f(1-x)= 1-\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{2-x},$ функция Минковского преобразуется как

$?\left(\frac{1}{2-x}\right)=\frac{1+?(x)}{2}.$

Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

$F(x,\;t)=\left(\frac{x}{1+x},\;\frac{t}{2}\right),\quad G(x,\;t)=\left(\frac{1}{2-x},\;\frac{1+t}{2}\right).\qquad(3)$

Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ $F$ — это часть графика над отрезком $[0,\;1/2]$, а образ $G$ — график над отрезком $[1/2,\;1]$.

Построение графика как фрактала

График функции Минковского может быть построен, как предельное множество для системы итерируемых функций (англ.). А именно, отображения $F$ и $G$, заданные (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому, последовательность множеств $X_n$, определённая рекурсивно как

$X_0=[0,\;1]\times[0,\;1],\quad X_{n+1}=F(X_n)\cup G(X_n)$

— это убывающая по вложению последовательность множеств, причём график $\Gamma=\{(x,\;?(x))\mid x\in[0,\;1]\}$ функции Минковского содержится в любом из них.

Несложно увидеть, что $X_n$ является объединением прямоугольников высоты $1/2^n$, поэтому предельное множество

$X_\infty=\bigcap_n X_n$

является графиком некоторой функции. Поскольку $\Gamma\subset X_\infty$, то они совпадают. Поэтому, график функции Минковского — это предельное множество системы итерируемых функций

$F,\;G\colon [0,\;1]^2\to[0,\;1]^2.$

Свойства

• Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке $x\in[0,\;1]$ её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на $[0,\;1]$, функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке $[0,\;1]$ в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке $[0,\;1]$ в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число $x$ является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности $?(x)$.
• График функции Минковского переводится в себя отображениями $F$ и $G$, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.

Литература

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003), «A Survey of the Minkowski ?(x) Function», Masters thesis, West Virginia University , ссылка.
• Conway, J. H. (2000), "Contorted fractions", «On Numbers and Games» (2nd ed.), Wellesley, MA: A K Peters, сс. 82—86 .
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

См. также

• Канторова лестница

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.