Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

(1)

или используя комплексную запись, в виде ряда:

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть $\phi_n$, $\phi_m$ — две функции пространства $L^2[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}]$. Определим их скалярное произведение

$\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx$

Условие ортогональности

$\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx = ||\phi_m(x)||^2\delta_{nm}$

где $\delta_{nm}$ — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при $n=m$ или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида $sin(kx)$, $cos(kx)$ попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных $k\neq l$:

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx)dx = 0$

и при всех целых неотрицательных $k$, $l$

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0$.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве $L^2[0,2\pi]$. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in L_2([-\pi,\pi])$ называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

(1)

где

$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$

$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.$

Числа $a_0$, $a_n$ и $b_n$ ($n = 1, 2, \ldots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию $f\in L_2([0,2\pi])$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$, $a_n$ и $b_n$. Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi,\pi]$, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$. Аналогично для $b_k$

Ряд (1) сходится к функции $f$ в пространстве $L_2([-\pi,\pi])$. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

$\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$. Здесь

$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx,$.

Коэффициенты : $\hat{f}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

  

$\hat{f}_k = (a_k+ib_k)/2, k>0$

$\hat{f}_0 = a_0/2$

$\hat{f}_k = (a_{|k|}-ib_{|k|})/2, k<0$

$a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0$

$b_k = -i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0$

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения $\hat{f}_k$ и $\hat{f}_{-k}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$.

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

$\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k$

• Справедливо равенство Парсеваля:

$2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2$.

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

$\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k$

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:

$\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{k-j}$

• рассмотрим операцию свертки функций:

$(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t-x)g(x) dx,$

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка $[-\pi,\pi]$ на всю прямую. Тогда

$\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k$

См. также

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Примечания

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.