Разложение матрицы

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы $A$ в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей $A$.

Классификация

• LU-разложение — представление матрицы $A$ в виде $A = LU$, где $L$ — нижнетреугольная, а $U$ — верхнетреугольная матрица. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде.
• LUP-разложение — представление матрицы $A$ в виде $PA = LU$, где $P$ — перестановочная, а $L$ и $U$ — треугольные. Это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.
• QR-разложение — представление матрицы $A$ в виде $A = QR$, где $Q$ — ортогональная (или, в общем случае, унитарная), а $R$ — верхнетреугольная. Существуют также его варианты: RQ-, QL- и LQ-разложения.
• Разложение Холецкого — представление квадратной, положительно-определённой матрицы $A$ в виде $A = U^T U$, где $U$ — верхнетреугольная.
• Спектральное разложение — представление квадратной матрицы $A$ в виде $A = PDP^{-1}$, где $P$ — ортогональная матрица, столбцы которой — это собственные вектора матрицы $A$, а $D$ — диагональная матрица с собственными значениями $A$ на диагонали. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде, а только те, которые обладают полным набором собственных векторов.
• Полярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной и симметричной положительно-полуопределённой матрицы.
• Сингулярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Количественное рассмотрение

^[1]

Полярное разложение

Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.

Так как $(A^T A)^T = A^T A$, то матрица $A^T A$ симметричная. Существует^[2] базис, который можно обозначить через $\vec{e}$, состоящий из ортонормированных векторов матрицы $A^T A$, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как $(A^T(x), y) = (x, A(y))$, то для любых векторов $e_i$ и $e_j$ базиса $e$ выполняется $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^T A(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{e_j}))$. Значит, образ базиса $\vec{e}$ относительно преобразования $A$ ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования $A$ векторы $\vec{e_k}$ базиса $e$ преобразуются в векторы $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$.

Сингулярные числа матрицы $A$ — квадратные корни $\sqrt{\lambda_i}$ из собственных значений матрицы $A^TA$.

Отсюда очевидно, что $\lambda_i \ge 0$. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число $r$, что $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$.

Пусть $f$ — система векторов $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ при $i < r$, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть $Q$ — матрица перехода из базиса $e$ в базис $f$. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица $Q$ ортогональная. Так как $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i$, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $Q^{-1} A$. Это значит, что матрица $Q^{-1} A$ в базисе $\vec{e}$ имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$, где матрица $Q$ ортогональная, а матрица $Q^{-1} A$ симметричная.

Сингулярное разложение

Основная статья: Сингулярное разложение

Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через $P$ матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица $S$ имеет диагональный вид $D$; тогда $D=P^{-1}SP$, и $S=PDP^{-1}$; соответственно $A=QPDP^{-1}$; матрица $QP$ ортогональна как произведение ортогональных. Матрица $D$, действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая $Q_1=QP$, $Q_2=P^{-1}$, получаем $A = Q_1 D Q_2$, где $Q_1$ и $Q_2$ ортогональны, $D$ диагональна с сингулярными числами на диагонали.

Источники

1. ↑ Беклемишев, Д. В. Глава VI. Линейные пространства // Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры. — 10-е изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 232-233. — 304 с. — ISBN 5-9221-0304-0
2. ↑ собственные значения симметричной матрицы