Эрмитов оператор

В математике оператор $A$ в комплексном или действительном гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех $x,y$ из области определения $A$. Здесь и далее полагается, что $(x, y)$ — скалярное произведение в $\mathfrak H$. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в $\mathfrak H$ называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

Доказательство  

Для всякого собственного значения $\lambda$ по определению верно $A\left( x \right) = \lambda x$. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

$\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)$

и

$\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)$,

откуда $\lambda = \overline \lambda$ — число $\lambda$ вещественное.

2. В конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой.

Доказательство  

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$, где $\xi$ и $\eta$ - координатные столбцы векторов $x$ и $y$ соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

$\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^T A^T \overline \eta$

и

$\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta$

Следовательно, $A^T = \overline A$, что и есть определение эрмитовой матрицы.

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство  

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения $\lambda$ и $\mu$. Соответственно для векторов $x$ и $y$ из соответствующих им собственных подпространств выполняется $A\left( x \right) = \lambda x$ и $A\left( y \right) = \mu y$. Отсюда $\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)$ равно $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)$. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)$. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить $\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0$, откуда при различности собственных значений $\lambda \ne \mu$ ясно, что $\left( {x,y} \right) = 0$, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство $E'$ инвариантно относительно самосопряжённого преобразования $A$, то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно $A$.

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора $x$, принадлежащего подпространству $E'$, лежит в нём. Следовательно, для любого вектора $y \in \left( {E'} \right)^ \bot$ выполняется $\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0$. Так как преобразование $A$ самосопряжённое, то отсюда следует, что $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = 0$, то есть образ любого вектора $y$ из $\left( {E'} \right)^ \bot$ принадлежит $\left( {E'} \right)^ \bot$, что и означает, что подпространство $\left( {E'} \right)^ \bot$ инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение$\lambda_1$. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е₁. Без ограничения общности можно считать, что $|e_1| = 1$. Если п=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е₁ - линейную оболочку элемента е₁, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е^n-1 - ортогональное дополнение к Е . Тогда по лемме 2 Е^n-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е^n-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е^n-1 , поскольку Е^n-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для $\forall$х,у $\in$ Еⁿ  : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для $\forall$х,у $\in$ Е^n-1.

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение $\lambda_2$ и соответствующий ему собственный вектор $e_2$ . Без ограничения общности можно считать, что $|e_2| = 1$. При этом $\lambda_2$ может случайно совпасть с $\lambda_1$ , однако, из построения ясно, что $(e_1, e_2) = 0$. Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку ${(e_1, e_2)}$ и ее ортогональное дополнение Е^n-2. Найдём новое собственное значение $\lambda_3$ и соответствующий ему собственный вектор $e_3$ и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еⁿ .

Доказательство завершено.

Матрицы

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу $\frac{}{}A^\dagger,$ получаемую из исходной матрицы $\frac{}{}A$ путем её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть $\frac{}{}(A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji}.$ Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: $\frac{}{} A^\dagger = A.$

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

• Сопряжённый оператор