- QR-разложение
-
-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы.
Определение
Матрица размера с комплексными элементами может быть представлена в виде:
где — унитарная матрица размера , а — верхнетреугольная матрица размера .
В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, является ортогональной матрицей (то есть , где — единичная матрица).
По аналогии, можно определить варианты этого разложения: -, -, и -разложения, где — нижнетреугольная матрица.
Свойства
Если — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное -разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы должны быть положительными вещественными числами.
Алгоритмы
-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.
Альтернативные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Разложения матриц
Wikimedia Foundation. 2010.