Внешняя алгебра

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Определение

Внешняя алгебра $\bigwedge V$ векторного пространства $\ V$ над полем $\ K$ — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком $\wedge$, а порождающими элементами являются $1, \mathbf{e_1, \dots ,e_n}$, где $\mathbf{e_1,\dots,e_n}$ — базис пространства $\ V$. Определяющие соотношения имеют вид

• $\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j = -\mathbf e_j \wedge \mathbf e_i \,(i,j=1,\dots,n),\,\mathbf e_i\wedge \mathbf e_i=0$;
• $\mathbf e_i\wedge 1=1\wedge \mathbf e_i = \mathbf e_i \,(i=1,\dots,n),\,1\wedge 1=1$.

Внешняя алгебра обычно обозначается $\wedge V$, она не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

• Операция $\wedge$ называется внешним произведением.
• Подпространство $\wedge^r V$ (для $r=0, 1, \dots, n$) в $\wedge V$, порождённое элементами вида $e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_r}$, называется $r$-ой внешней степенью пространства $V$.
• Элемент $\omega \in \wedge^k V^*$ называется внешней формой степени k или внешней k-формой на V.

Свойства

• Имеют место равенства:

$\operatorname{dim}\wedge V=2^n$

$\operatorname{dim}\wedge^r V=C^r_n$, в частности

$\wedge^r V=0$ при $r>n$.

• градуированная коммутативность: $u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u$, если $u\in\wedge^rV$,$v\in\wedge^sV$.
• Элементы пространства $\wedge^r V$ называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V$, с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    $(\bold a \wedge \bold b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i$

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    $(\bold a \wedge \bold b)_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)/2$

• Линейно независимые системы из $r$ векторов $x_1, \dots, x_r$ и $y_1, \dots, y_r$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_1\wedge \dots \wedge x_r$ и $y_1\wedge \dots \wedge y_r$ пропорциональны.
• Алгебра $\wedge V$ имеет структуру градуированной алгебры:

$\wedge V = K \oplus \bigoplus_{r=1}^{\infty} \wedge^r V$

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор