- Функциональное уравнение
-
В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Содержание
Примеры
- Функциональному уравнению
- где — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
- Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
- Функциональное уравнение
- где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.
- Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:
- — удовлетворяют все показательные функции,
- — удовлетворяют все логарифмические функции,
- — уравнение Коши,
- — квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет ,
- — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия
- — уравнение Лобачевского, решение — ,
- — уравнение Даламбера,
- — уравнение Абеля (англ.),
- — уравнение Шрёдера (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .
- Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение. Говоря формально, оно содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
- Пример реккурентного соотношения:
- Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию[стиль!]:
Но если мы напишем вместо то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:
Решение функциональных уравнений
Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.
Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию
- .
Затем рассмотрим
- ,
если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,
- и многие другие.
Пример 1
Решить для всех где f принимает вещественные значения.
Положим : . Тогда и .
Теперь, положим :
Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.
См. также
Примечания
Литература
- Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
- Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
- Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
- Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
- Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
- Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.
Ссылки
- Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- IMO Compendium text on functional equations in problem solving.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Перевести текст с иностранного языка на русский.
Категории:- Математический анализ
- Функциональные уравнения
- Олимпиадные задачи
Wikimedia Foundation. 2010.