Собственные векторы, значения и пространства

Собственные векторы, значения и пространства
Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению \lambda=1. Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Содержание

Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть  L  — линейное пространство над полем  K ,  A\colon L \to L  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования  A называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого  \lambda \in K

\ A x = \lambda x

Собственным значением линейного преобразования  A называется такое число  \lambda \in K , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение  A x = \lambda x имеет ненулевое решение  x \in L .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный \lambda x, а соответствующий скаляр \lambda называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования  A для данного собственного числа  \lambda \in K (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов  x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  E_{\lambda} . По определению,

 E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования  A для данного собственного значения  \lambda \in K называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого натурального числа  m

 (A-\lambda \cdot E)^m x =0

Если  m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0 ), то  m называется высотой корневого вектора  x .

Корневым подпространством линейного преобразования  A для данного собственного числа  \lambda \in K называется множество всех корневых векторов  x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  V_{\lambda} . По определению,

 V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},

где  V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot E)^m

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство V \subset L называется инвариантным подпространством линейного преобразования A ( A-инвариантным подпространством), если

AV \subseteq V.
  • Собственные подпространства  E_{\lambda} , корневые подпространства  V_{\lambda} и подпространства  V_{m,\lambda} линейного оператора A являются A-инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):  E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda} ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
A= \begin{pmatrix} 1&  1\\ 0&1\end{pmatrix}
(A-E)^2=0 , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
 V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} если  \lambda \neq \mu .
  • Метод поиска собственных значений для самосопряженных операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора дает теорема Куранта-Фишера.

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в  n-мерном линейном пространстве  L , можно сопоставить линейному преобразованию  A\colon L \to L квадратную  n\times n матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

 P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k.
  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, a_0 = \det\,A, a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица A в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
  • Для положительно определённой симметричной матрицы A процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

 P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)
где  \lambda_i \; (i=1,\ldots,n ) — собственные значения; некоторые из  \lambda_i могут быть равны. Кратность собственного значения  \lambda_i — это число множителей равных  \lambda - \lambda_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
  • Размерность корневого пространства V_{\lambda_i} равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство  L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
 L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}
где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам  A.
  • Геометрическая кратность собственного значения  \lambda_i — это размерность соответствующего собственного подпространства  E_{\lambda_i} ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку  E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор  A, коммутирующий со своим сопряжённым  A^*:

 A A^*=A^* A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы ( A =A^*), антиэрмитовы операторы ( A =-A^*) и унитарные операторы (A^{-1} =A^*), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора  A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если A x=\lambda x, A y=\mu y и \lambda \neq \mu, то (x,y)=0. (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности |\lambda|=1 .
  • В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора A\colon \C^n \to \C^n, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
 L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},
где суммирование производится по всем \lambda_i — собственным числам  A, а  E_{\lambda_i} взаимно ортогональны для различных \lambda_i.
  • Последнее свойство для нормального оператора над \C является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная n \times n матрица A=(a_{ij}) называется положительной, если все её элементы положительны: a_{ij} > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v_0 с положительными координатами. Положим:

v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}

Последовательность v_{k} сходится к нормированному собственному вектору e_r / \|e_r\|.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
  • Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.


Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Собственные векторы — Собственные векторы, значения и пространства Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.… …   Википедия

  • Собственные векторы —         линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей… …   Большая советская энциклопедия

  • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ — численные методы нахождения методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного двух минимальных или максимальных по модулю собственных значений). Сопутствующей задачей часто бывает …   Математическая энциклопедия

  • Собственные значения —         линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственным вектором (См. Собственные векторы). Так, С. з. дифференциального оператора L (y) с заданными… …   Большая советская энциклопедия

  • Метод главных компонент — (англ. Principal component analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях,… …   Википедия

  • Истинное ортогональное разложение — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… …   Википедия

  • Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… …   Википедия

  • Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… …   Википедия

  • Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… …   Википедия

  • Преобразование Карунена - Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… …   Википедия

Книги


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»