Собственные значения это:

Собственные значения
        линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственным вектором (См. Собственные векторы). Так, С. з. дифференциального оператора L (y) с заданными краевыми условиями служат такие числа λ, при которых уравнение L (y) = λу имеет ненулевое решение, удовлетворяющее этим краевым условиям. Например, если оператор L (y) имеет вид у’’, то его С. з. при краевых условиях y (0) = у (π) = 0 служат числа вида λn = n2, где n — натуральное число, т.к. уравнению — у’’ = n2у с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции уп = sin nx; если же λn n2 ни при каком натуральном n, то уравнению —у’’ = λу при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция у (х) ≡ 0. К изучению С. з. линейных операторов приводят многие задачи математики, механики и физики (аналитической геометрии и алгебры, теории колебаний, квантовой механики и т.д.).
         С. з. матрицы (См. Матрица) (i, k = 1, 2,..., n) называют С. з. соответствующего ей линейного преобразования п-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А — λЕ (где Е — единичная матрица), т. е. корни уравнения
        , (*)
        , (*)
         называемого характеристическим уравнением (См. Характеристическое уравнение) матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и В–1 AB (где В — неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню λi; уравнения (*) отвечает вектор xi ≠ 0 (собственный вектор) такой, что Axi = λixi. Если все С. з. различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства (См. Векторное пространство). В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей
        .
        .
         Каждую матрицу А с различными С. з. можно представить в виде С–1ΛС. Если А — Самосопряжённая матрица, то её С. з. действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной (см. Унитарная матрица). Модуль каждого С. з. унитарной матрицы равен 1. Сумма С. з. матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание С. з. матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений. См. также Собственные функции.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Собственные значения" в других словарях:

  • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — линейного преобразования скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x …   Большой Энциклопедический словарь

  • собственные значения — линейного преобразования, скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, λ есть собственные значения преобразования А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх. * * * СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ… …   Энциклопедический словарь

  • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — линейного преобразования, скаляры, на к рые умножаются его собств. векторы. Т.о., Я. есть С. з. преобразования А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Лямбда х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Собственные значения — …   Википедия

  • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ; — численные методы нахождения методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упругих ограниченных тел описываются уравнением где нек рое дифференциальное выражение. Если решение… …   Математическая энциклопедия

  • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ — численные методы нахождения методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного двух минимальных или максимальных по модулю собственных значений). Сопутствующей задачей часто бывает …   Математическая энциклопедия

  • Собственные векторы — Собственные векторы, значения и пространства Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.… …   Википедия

  • Собственные векторы, значения и пространства — Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации(преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим …   Википедия

  • Собственные функции —         понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных… …   Большая советская энциклопедия

  • Собственные векторы —         линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Собственные значения» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»