- Расслоение струй
-
Струя отображения f на многообразии M — это операция, сопоставляющая каждой точке x из M некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора f в точке x). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.
Содержание
Струи на евклидовом пространстве
Аналитическое определение
Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на p-адический анализ и т. п.
Пусть — векторное пространство гладких отображений . Пусть k — неотрицательное целое число, p — точка в . Определим класс эквивалентности в этом пространстве следующим образом: две функции f и g эквивалентны порядка k, если они имеют равное значение в точке p и все их частные производные до k-ого порядка включительно совпадают в этой точке.
Пространство k-струй (струй k-ого порядка) на в точке p — это множество классов эквивалентности (обозначается ).
k-струя гладкого отображения в точке p — это класс эквивалентности в , содержащий f.
Алгебро-геометрическое определение
Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть — векторное пространство ростков гладких отображений в точке . Пусть — идеал отображений, равных нулю в точке p (это максимальный идеал локального кольца ), а — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке p с точностью до k-ого порядка. Определим пространство струй в точке p как
Если — гладкое отображение, то можно определить k-струю f в точке p как элемент , для которого
Теорема Тейлора
Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами и , поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответсвующими многочленами Тейлора.
Пространство струй из точки в точку
Мы определили пространство струй в точке . Подпространство, содержащее те струи отображения f, для которых f(p) = q, обозначается
Wikimedia Foundation. 2010.