Размерность топологического пространства

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X обычно обозначается $\dim X$.

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon>0$ существует конечное открытое $\varepsilon$-покрытие X, имеющее кратность $\leqslant n+1$;

При этом

• $\varepsilon$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$, а
• кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n + 1.

При этом покрытие $\mathcal P$ называется вписанным в покрытие $\mathcal Q$, если каждый элемент покрытия $\mathcal P$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $\mathcal Q$.

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n-мерного куба равна n. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim X$ (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973