Птолемея теорема

Неравенство Птолемея: Для любых точек A,B,C,D плоскости выполнено неравенство

$|AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник.

Доказывается применением инверсии относительно точки A и неравенством треугольника для образов точек B, C, D.

Следствия

• Теорема Помпею: Рассмотрим точку X и правильный треугольник ABC. Тогда из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Вариации и обобщения

Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если $A_1, A_2, \dots A_6$ произвольные точки плоскости, то

$|A_1A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_3A_6|\le |A_1A_2|\cdot |A_3A_6|\cdot |A_4A_5|+|A_1A_2|\cdot |A_3A_4|\cdot |A_5A_6| +$

$+|A_2A_3|\cdot |A_1A_4|\cdot |A_5A_6|+|A_2A_3|\cdot |A_4A_5|\cdot |A_1A_6|+|A_3A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_1A_6|,$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $A_1\dots A_6$ — вписанный шестиугольник.

Oбобщенная теорема Птолемея: Рассмотрим окружности α,β,γ и δ, касающиеся данной окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть t_αβ — длина общей касательной к окружностям α и β (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); t_βγ,t_γδ и т. д. определяются аналогично. Тогда

t_αβt_γδ + t_βγt_δα = t_αγt_βδ.