Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея: Для любых точек $A,B,C,D$ плоскости выполнено неравенство

$|AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства

• Один из вариантов доказательства — применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.^[1]
• Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E такую, что $\angle ABE=\angle DBC$, а потом через подобие треугольников.
• Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

• Теорема Помпею́.^[2] Рассмотрим точку $X$ и правильный треугольник $ABC$. Тогда из отрезков $XA$, $XB$ и $XC$ можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если $A_1, A_2, \dots A_6$ произвольные точки плоскости, то

$|A_1A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_3A_6|\le |A_1A_2|\cdot |A_3A_6|\cdot |A_4A_5|+|A_1A_2|\cdot |A_3A_4|\cdot |A_5A_6| +$

$+|A_2A_3|\cdot |A_1A_4|\cdot |A_5A_6|+|A_2A_3|\cdot |A_4A_5|\cdot |A_1A_6|+|A_3A_4|\cdot |A_2A_5|\cdot |A_1A_6|,$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $A_1\dots A_6$ — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кэзи (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности $\alpha,\beta,\gamma$ и $\delta$, касающиеся данной окружности в вершинах $A,B,C$ и $D$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha\beta}$ — длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta}$ и т. д. определяются аналогично. Тогда

$t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}$.

Примечания

1. ↑ Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
2. ↑ О теореме Д. Помпейю. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0