Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей $\vec{l}$, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей $\vec{l}$, целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\!$	$y^2=2px\!$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1$
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\!$	$y^2=0\!$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0$

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если $\forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z$ выполняется следующее: $F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!$

Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x² + y²,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz\!$

В случае, если $a=b\neq 0$, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz\!$

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z₀ поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x₀ или y = y₀ поверхность порождает параболу.

Литература

• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

См. также

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид