Оператор плотности

Матрица плотности (оператор плотности) — один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом и независимо Л. Д. Ландау и Ф. Блохом в 1927 году.

Определение

Оператор плотности — это неотрицательный ядерный эрмитов оператор с единичным следом в гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква ρ. Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию $|\psi\rang,$ является ортогональный проектор на соответствующую волновую функцию:

$\rho = |\psi\rang \lang \psi|$.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний $|\psi_j \rang$ с вероятностью p_j, описывается оператором плотности вида

$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rang \lang \psi_j|$

Среднее значение наблюдаемой A для состояния, заданного матрицей плотности ρ, представляет собой след произведения операторов A и ρ:

$\lang A\rang = \operatorname{Sp} (A\rho)$.

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Свойства

• Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения

  $\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{\imath \hbar} [ \mathcal{H}, \rho ]$

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

Применение

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния $|\psi\rang$ в смешанное состояние

$\rho = \sum_j | e_j \rang |\lang e_j | \psi\rang|^2 \lang e_j |$,

где $| e_j\rang$ суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Литература

• Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, — М.: Мир, 1983. 248 c.
• Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике.  М.: МФТИ, 2004.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Местечкин М. М. Метод матрицы плотности в теории молекул. Киев: Наукова думка, 1977. – 352 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 § 14.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, — М.: Наука 1964.