Функция распределения (статистическая механика)

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический ·Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно ·Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая ·Эйнштейна ·Модель Изинга Потенциалы внутренняя энергия ·Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл ·Гиббс ·Больцман

Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами q_i и импульсами p_i ее частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин $q \equiv \left\{ q_{i} \right\}$ и $p \equiv \left\{ p_{i} \right\}$ образуют фазовое пространство. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства $dqdp\equiv\prod\limits_{i}dq_{i}dp_{i}$ (с точкой q, p внутри) дается формулой:

$d\omega=\rho \left(t,q,p\right)dqdp \qquad (1)$

Функцию $\rho \left(t,q,p\right)$ называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет из себя плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция $\rho \left(t,q,p\right)$ удовлетворяет условию нормировки

$\int {dqdp\rho \left(t,q,p\right)}=1, \qquad (2)$

причем интеграл берется по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определенном микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными ${q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\}$ и ${p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}$, и тогда

$\rho \left(q,p\right)=\delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right),$

где $\delta\left(q-q^{(0)}\right)\delta\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right)$ (δ - функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция $\rho \left(t,q,p\right)$ позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины $F \left(t,q,p\right)$ – функции фазовых переменных q и p:

$\left\langle\hat{F}\right\rangle=\int {dqdp\hat{F}\hat{\rho}},$

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка – статистическое усреднение. Разобьем систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом ее частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

$\rho \left(t,q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)$

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций $\rho^{(n)}\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция ρ. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр – радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения $\rho \left(t,q,p\right)$ равносильно заданию бесконечного числа независимых величин – ее значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ N_A, где N_A – число Авогадро).

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин $\hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\}$. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей $\rho \left(A\right)$ значений A дается равенством

$\rho\left(A\right)=\int {dqdp\delta\left(A-\hat{A}\right)\rho\left(q,p\right)},$

где $\delta\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\left(A_m-\hat{A}_m\right)$. Функция распределения $\rho\left(A\right)$ может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин $\hat{f}\equiv f\left(\hat{A}\right)$ , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через $\hat{A}$ . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

$\left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {dAf\left(A\right)\rho\left(A\right)},$

где $dA\equiv\prod\limits_{m}dA_m$ и интегрирование ведется по всем возможным значениям A. Конечно, средние значения $\left\langle\hat{f}\right\rangle$ величин $\hat{f}$ можно было бы найти с помощью полной функции распределения $\rho \left(t,q,p\right)$, если бы она была известна. Для функции $\rho\left(A\right)$ так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

$\int{dA\rho\left(A\right)}=1$

Описание системы с помощью функции $\rho\left(A\right)$ называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля

$\frac {\partial\hat{\rho}\left(t\right)}{\partial t}+iL_t\hat{\rho}\left(t\right)=0,\qquad (4)$

где $L_t\equiv-i\left\{\hat{H}_t,\quad\right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right)$ – оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций, $\hat{H}_t$ – функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (L_t = L), решение уравнения (4) имеет вид

$\hat{\rho}\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\left(0\right)\qquad (5)$

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции $\hat{\psi}^{(n)}$ и собственные значения L⁽ⁿ⁾ оператора L. Пользуясь полнотой и ортонормированностью $\hat{\psi}^{(n)}$, напишем $\hat{\rho}\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)}$, где $c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\left(0\right)\right)$ (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

$\hat{\rho}\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-itL^{(n)}}c_n\hat{\psi}^{(n)}$

См также

• Частичная функция распределения

Литература

• Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва–Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. - 192с. (2-ое изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. - 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
• Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 432с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
• Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. - 312 с. ISBN 5-354-01004-7
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. - 128с. ISBN 5-93972-273-3
• Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. - 368с.
• Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
• Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.