- Показательная функция
-
Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.
- В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
- В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
- В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
Содержание
Вещественная функция
Определение показательной функции
Пусть — неотрицательное вещественное число, — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.
- Если , то .
- Если и , то .
- Значение не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
- Если и , то .
- Значение при не определено.
Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:
Свойства
Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:
Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.
Аналитические свойства:
В частности:
ДоказательствоI. Докажем, что
. Ч. т. д.
Докажем, что . Пусть , тогда . Если , то
II. Ч. т. д.
Разложение в ряд:
- .
Асимптотика
Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:
Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.
Комплексная функция
Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:
Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.
Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.
Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .
См. также
Литература
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2
Категории:- Элементарные функции
- Элементарные функции комплексного переменного
Wikimedia Foundation. 2010.