- Наложение
-
Изоме́три́я, или движе́ние, или наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если A' и B' — образы точек A и B, то | A'B' | = | AB | .
Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии, в частности в римановой геометрии. Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, то есть сохраняются полностью все скалярные произведения.
В этой статье ниже подразумевается евклидово пространство, а в общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Содержание
Виды изометрии
На плоскости
- Осевая симметрия (отражение)
- Параллельный перенос
- Поворот
- Скользящее отражение — композиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой
В трёхмерном пространстве
- Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости
- Параллельный перенос
- Поворот
- Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости
- Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота
- Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой
В n-мерном пространстве
В n-мерном пространстве движения сводятся ко всем ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям того и другого.
В свою очередь ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.
Общие свойства изометрии
- Композиция изометрий также является изометрией
- Изометрии относительно взятия композиции образуют группу
- Изометрия - аффинное преобразование
- Изометрия переводит отрезок в отрезок
Движения как композиции симметрий
Любую изометрию в n-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем n + 1 отражений.
Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.
Wikimedia Foundation. 2010.