- ФОКА ПРОСТРАНСТВО
- ФОКА ПРОСТРАНСТВО
-
- в простейшем и чаще всего употребляемом случае - гильбертово пространство, состоящее из бесконечных последовательностей вида
где
или
причём 
означает гильбертово пространство симметрических (соответственно антисимметрических) ф-ций от п переменных
. Скалярное произведение двух последовательностей F и G вида (1) равно 
В случае, когда последовательности F состоят из симметрических ф-ций, говорят о симметрическом (или бозонном) Ф. <п., а в случае последовательностей антисимметрических ф-ций Ф. <п. наз. антисимметрическим (или фермионным). В таком простейшем случае Ф. <п. были впервые введены В. А. Фоком в 1932.
В общем случае произвольного гильбертова пространства H Ф. п.
(или 
), построенным над H, наз. симметризованную (или антисимметризованную) тензорную экспоненту пространства H, т. е. пространства 
где знак
означает прямую ортогональную сумму гильбертовых пространств, 
, 
,а 
, п>1-симметризованную при 
или антисимметризованную 
й-ую тензорную степень пространства H. В случае 
определение (2) эквивалентно определению Ф. <п., приведённому в начале статьи, если отождествить пространства 
и 
так, что тензорному произведению
последовательности ф-ции
соответствует ф-ция
где суммирование происходит по всем перестановкам индексов
- чётность перестановки CT, а знак +1 или - 1 в выражении (3) соответствует симметрическому или антисимметрическому случаям.В квантовой механике Ф. <п.
или 
служат пространствами состояний квантовомеханич. системы, состоящей из произвольного (но конечного) числа одинаковых частиц, таких, что пространством состояний каждой отд. частицы является пространство Я. При этом в зависимости от того, каким из Ф. <п.- симметрическим или антисимметрическим - описывается эта система, сами частицы наз. бозонами или фермионами. Для любого n = 1, 2,..., подпространство 
наз. и-частичным подпространством: его векторы описывают те состояния, в к-рых имеется ровно п частиц; единичный вектор 
(в записи (1): 
, называемый вакуумным вектором, описывает состояние системы, в к-ром нет ни одной частицы.При изучении линейных операторов, действующих в Ф. п.
, часто применяется спец. формализм, называемый методом вторичного квантования. Он основан на введении в каждом из пространств 
, 
, а, двух семейств линейных операторов: т. <н. операторов уничтожения 
и семейства сопряжённых им операторов 
, называемых операторами рождения. Операторы уничтожения задаются как замыкания операторов, действующих на векторы 
где
-симметризованные (при 
) или антисимметризованные (
) тензорные произведения последовательностей векторов 
по ф-лам n
где gs(i) = 0 и g а(i)=i-1. Операторы же рождения
действуют на векторы (3) по ф-лам 
При этом для любого
,
т. е.состояние физ. системы с п частицами операторами уничтожения
переводится в состояние с (и -1)-ой частицей, а операторами рождения 
-в состояние с ( п+1)-ой частицей.Операторы рождения и уничтожения оказываются во MH. случаях удобной системой «образующих» в совокупности всех операторов (ограниченных и неограниченных), действующих в Ф. <п. Представление таких операторов в виде суммы (конечной или бесконечной) операторов вида
т. н. нормальная форма оператора, и основанные на таком представлении способы действия с операторами (вычисление ф-ций от них, приведение операторов к к.-н. «простейшему» виду, разл. приёмы аппроксимации и т. д.)
и составляют содержание упомянутого выше формализма вторичного квантования (2).
Лит.:Foсk V., Configuration space and Dirac's method of quantisation, «Z. Phys.», 1932, Bd 75, H. 9-10, S. 622; Березин Ф. A., Метод вторичного квантования, 2 изд., M., 1986; Малышев В. А., Мин л ос P. А., Линейные операторы в бесконечночастичных системах, M., 1994. P. А. Минлос.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
