Вы можете отметить интересные вам фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.


ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ

ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ

характеристики множеств на прямой. Верхняя грань нек-рого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множеетво. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу. Более подробно: пусть задано нек-рое подмножество Xдействительных чисел. Число b наз. его верхней гранью (в. г.) и обозначается sup X(от латинского слова supremum - наивысшее), если для каждого числа выполняется неравенство , и каково бы ни было существует такое , что . Число наз. нижней гранью (н. г.) множества п обозначается (от латинского слова infimum - наинизшее), если для каждого выполняется неравенство , и каково бы ни было существует такое , что

Примеры:


если множество Xсостоит из двух точек то


Эти примеры показывают, в частности, что в. г. (н. г.) может как принадлежать этому множеству (напр., в случае отрезка ), так и не принадлежать ему (напр., в случае интервала ). Если в нек-ром множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно, очевидно, и является в. г. (н. г.) этого множества.

В. г. (н. г.) не ограниченного сверху (снизу) множества наз. символ (соответственно символ ).

Если N - множество натуральных чисел: то

Если множество всех целых чисел, положительных и отрицательных, то


Всякое непустое множество действительных чисел имеет и притом единственную в. г. (н. г.) конечную или бесконечную. При этом всякое ограниченное сверху непустое множество имеет конечную в. г., а всякое ограниченное снизу - конечную н. г.

Иногда в. г. (н. г.) множества наз. его точной верхней (нижней) гранью, понимая в этом случае под термином в. г. (н. г.) множества любое число, ограничивающее его сверху (снизу). Реже, вместо термина в. г. (н. г.) множества, в том или ином из вышеуказанных смыслов, употребляется термин верхняя (нижняя) граница множества. В. г. (н. г.) функции, принимающей действительные значения, в частности последовательности действительных чисел, называют в. г. (н. г.) множества ее значений.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. <Г., Основы математического анализа, 3 изд.. ч. 1, М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [3] Никольский С. М., Куре математического анализа, т. 1, М., 1973. Л. Д. Кудрявцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

См. также в других словарях:

  • Верхняя и нижняя грани — (математические)         важные характеристики множеств на числовой прямой. Верхняя грань (В. г.) множества Е действительных чисел наименьшее из всех чисел А, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство х ≤ А. Иными… …   Большая советская энциклопедия

  • Точная верхняя и нижняя грани — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры …   Википедия

  • Точная верхняя и нижняя границы множеств — Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань)  обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Используемые определения 2 Определения 2.1 …   Википедия

  • Нижняя грань — (математическая)         см. Верхняя и нижняя грани …   Большая советская энциклопедия

  • Верхняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Нижняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Затвор часть огнестрельного оружия — часть огнестрельного оружия, заряжаемого с казны, служащая для закрывания канала с целью образования его дна. ЗАМКИ и ЗАТВОРЫ ОРУЖИЯ [Объяснение см. в тексте.] А) Затворы артиллерийских орудий относятся по существу к двум категориями 1) клиновые… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Затвор, часть огнестрельного оружия — часть огнестрельного оружия, заряжаемого с казны, служащая для закрывания канала с целью образования его дна. ЗАМКИ и ЗАТВОРЫ ОРУЖИЯ [Объяснение см. в тексте.] А) Затворы артиллерийских орудий относятся по существу к двум категориями 1) клиновые… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте — Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компактe, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство для R 3 Замечания …   Википедия

  • Теорема Вейерштрасса о функции на компакте — Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия