ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ

числовая характеристика функции одного действительного-переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами.

1) Пусть - функция действительного переменного х, заданная на отрезке ; ее вариация есть точная верхняя грань сумм вида

где - произвольная система точек из . Это определение предложено К. Жорда-ном [1]. Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию на отрезке , а класс всех таких функций обозначают через или просто через V. Функция принадлежит классу тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде где и - возрастающие (убывающие) на функции (Жордана разложение функции ограниченной вариации). Сумма, разность и произведение двух функций класса также есть функция класса . Это справедливо и для частного двух функций класса , если модуль знаменателя превосходит положительную постоянную на отрезке . Каждая функция класса ограничена и может иметь не более чем счетное множество точек разрыва, причем все они 1-го рода.

Все эти свойства функций класса установлены К. Жорданом [1] (см. также [2], с. 234-38).

Функции класса почти всюду дифференцируемы на и для них имеет место разложение

где - абсолютно непрерывная, - сингулярная функция, а - функция скачков (Лебега разложение фуикции ограниченной вариации). Это разложение единственно, если (см. [3] и [2], с. 290).

Первоначально класс был введен К. Жорданом в связи с обобщением Дирихле признака сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. К. Жор-дан доказал, что ряды Фурье -периодич. функций класса сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Иногда рассматриваются классы , к-рые определяются следующим образом. Пусть положительная при монотонно возрастающая непрерывная функция. Обозначим через точную верхнюю грань сумм вида

где - произвольное разбиение отрезка . Величина наз. Ф-вариацией функции на отрезке . Если то говорят, что функция имеет ограниченную Ф - вариацию на отрезке , а класс всех таких функций обозначается через или просто через (см. (4], с. 287). При получается класс К. Жордана, а при - классы V_p Н. Винера [5]. Определение класса V _Ф[a, b] предложено Л. Юнг [6]. Если

то

В частности,

при причем эти вложения строгие.

Лит.: [1] Jоrdan С., "С. r. Acad. sci.", 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [З] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, (пер. с франц.), М.- Л., 1934; [4] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Wiеner N., "Massachusetts J. Math, and Phys.", 1924, v. 3, p. 72-94; Г6] Young L. С., "C. r. Acad. sci.", 1937, t. 204, № 7, p. 470 - 72. Б. И. Голубое.

2) Для функции нескольких переменных имеются различные определения вариаций ( Арцела вариация, Витали вариация, Пьерпонта вариация, Тонелли плоская вариация, Фреше вариация, Хардп вариация). Очень плодотворным оказалось также следующее определение (см. [1]), основанное на использовании Банаха индикатрисы,. Пусть действительнозначная функция задана и измерима по Лебегу на n-мерном кубе . Вариацией порядка функции на кубе наз. число

где обозначает -ю вариацию множества , а интеграл понимается в смысле Лебега. Ото определение позволяет перенести на функции нескольких переменных многие свойства функций ограниченной вариации одного переменного. Напр.:

б) Если последовательность функций сходится к равномерно на , то

в) Если функция непрерывна на и все ее вариации конечны, то почти всюду имеет полный дифференциал.

г) Если функция абсолютно непрерывна на , то

д) Если функция непрерывна на кубе со стороной , имеет конечные вариации всех порядков на кубе и может быть периодически продолжена с периодом по каждому аргументу на все н-мерное пространство, то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней на по Прингсхейму.

Достаточные условия конечности вариаций: если функция имеет на кубе непрерывные производные всех порядков до -го включительно, то ее вариация порядка kконечна. Эта теорема является окончательной в том смысле, что условия на гладкость не улучшаема ни прп одном k.

Лит.:[1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955 А. Г. Витушкин.