ЭЙЛЕРА МЕТОД

ЭЙЛЕРА МЕТОД

- простейший конечно-разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть дано дифференциальное уравнение


с начальным условием
y(x0) = y0.
Выбирается достаточно малый шаг hпо оси х, строятся точки x;=x0+ih, i=0, 1, 2, ... , и искомая интегральная кривая у(х)заменяется ломаной (ломаная Эйлера), звенья к-poй прямолинейны на отрезках [ х i, xi+1], а ординаты определяются по формулам

Если правая часть f(x, у )уравнения (1) непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при на достаточно малом отрезке равномерно стремится к искомой интегральной кривой у(х).
Э. м. заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения (1) на каждом последовательном отрезке [ х i, xi+1]представляется двумя членами ряда Тейлора

На каждом шаге Э. м. имеет погрешность порядка h2. Для уточнения Э. м. используются различные модификации. Напр., в усовершенствованном методе ломаных вместо формулы (2) для определения ординат используют формулу

где

то есть учитывают направление поля интегральных кривых в средней точке (4) звена ломаной.
Другой модификацией Э. м. является усовершенствованный метод Эйлера - Коши:


где

Последний метод можно еще более уточнить, применив итерационную обработку каждого значения yi+1:


где нулевое приближение

Итерационный расчет по формуле (б) продолжают до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут между собой в заданном числе десятичных знаков. Если после трех - четырех итераций совпадение требуемого числа десятичных знаков не достигается, то это указывает на необходимость уменьшения шага h. Э. м. с итерационной обработкой ординат дает на каждом шаге погрешность порядка h3. Э. м. и его модификации переносятся на более общий случай решения системы и обыкновенных дифференциальных уравнений
при заданных начальных условиях
Алгоритм вычислений по Э. м. легко программируется и удобен для реализации на ЭВМ.
Метод предложен Л. Эйлером (L. Euler, 1768).

Лит.:[1] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной математики, М., 1960.
И. Б. Вапнярский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ЭЙЛЕРА МЕТОД" в других словарях:

  • ЭЙЛЕРА МЕТОД — построения таблиц смертности, основан на использовании данных о возрастном составе умерших и коэфф. естеств. прироста населения (r) за предшествующий период. Э. м. позволяет адекватно оценить уровень смертности т. н. закрытого населения (без… …   Демографический энциклопедический словарь

  • ЭЙЛЕРА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из методов суммирования числовых и функциональных рядов. Ряд суммируем методом суммирования Эйлера (( Е, q ) суммируем) к сумме S, если где Впервые метод при q=1 применялся Л. Эйлером (L. Euler) для суммирования медленно сходящихся и… …   Математическая энциклопедия

  • Эйлера метод ломаных —         один из простейших методов численного решения дифференциальных уравнений. Предложен Л. Эйлером в 1768. См. Приближённое решение дифференциальных уравнений …   Большая советская энциклопедия

  • Метод Эйлера — Метод Эйлера  наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом… …   Википедия

  • Метод БВЕ — это метод быстрого суммирования специального вида рядов. Он был построен в 1990 Е.А. Карацубой[1] [2] и назван БВЕ Быстрого Вычисления Е функций потому, что позволяет вычислять быстро Зигелевские функции, и в частности, . Зигель назвал E… …   Википедия

  • Метод Рунге — Кутта — Методы Рунге Кутта (Методы Рунге Кутты) важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года… …   Википедия

  • ЭЙЛЕРА -ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ — необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759. Пусть поставлена задача вариац. исчисления, состоящая в… …   Физическая энциклопедия

  • метод Эйлера — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Eulers method …   Справочник технического переводчика

  • Метод узловых потенциалов — метод расчета электрических цепей путём записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при… …   Википедия

  • Метод Рунге — Методы Рунге  Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге  Кутта или даже Методы Рунге  Кутта)  важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»