ФРЕШЕ ВАРИАЦИЯ

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция f(x)=f(x_l, . . ., х _n) задана на n-мерном параллелепипеде

и введены обозначения

Пусть П - произвольное разбиение параллелепипеда D_n гиперплоскостями

на n-мерные параллелепипеды, а могут принимать значения произвольным образом. Вариация Фреше определяется так:

Если то говорят, что функция f(х)имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на D_n, а класс всех таких функций обозначается через F(D_n). Этот класс при п=2 введен М. Фреше [1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных на квадрате функций вида Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

где

Для -периодических функций класса F(Q_n)

справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье [2]. Например, если то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции f(x)в каждой точке х = (х ₁, ..., х _п )сходятся к числу
где суммирование распространяется на. все 2т возможных комбинаций знаков При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная (аналог признака Жордана).

Лит.:[1] Prechet M., лTrans. Аmеmr. Math. Soc.