ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ

произвольное свойство топологического пространства.
Если множество Xснабжено какой-либо структурой, однозначно порождающей нек-рую топологию и следовательно превращающей . в топологич. пространство, то под Т. и. множества Xпонимается свойство именно топологич. пространства, порожденного данной в Xструктурой. Так, напр., говорят о связности метрич. пространства или об односвязности данного дифференцируемого многообразия, имея в виду соответствующие свойства топологич. пространства, топология к-рого порождается данной на множестве . метрич. или дифференциально геометрич. структурой.
Уже в самый первый период развития топологии, наряду с простейшими Т. и. как. напр., связность, компактность и др., большое внимание привлекли к себе т. н. числовые инварианты, в начале определявшиеся главным образом для полиэдров; таковы в первую очередь были размерность и Бетти, числа. Для замкнутых поверхностей еще раньше рассматривался род поверхности, сразу же выражающийся через
первое число Бетти. Затем большое значение приобрели Т. и., являющиеся группами, а впоследствии и др. алгебраич. структурами. Таковы, напр., группы Бетти или гомологии группы различных размерностей, рангами к-рых и являются числа Бетти; фундаментальная группа, обобщением к-рой для любых размерностей явились гомотопические группы, а также пересечений кольцо многообразий, вскоре замененное гораздо более общим и удобным для применений когомологич. кольцом Александера - Колмогорова, определенным не только для полиэдров, но и для чрезвычайно широкого класса топологич. пространств, и др.
В случае полиэдров важные Т. и. часто, и даже преимущественно, определялись как свойства симплициальных комплексов, являющихся триангуляциями данного полиэдра. Такие определения требовали последующего доказательства т. <н. теорем инвариантности, утверждавших, что соответствующее свойство не меняется при переходе от одной какой-нибудь триангуляции данного полиэдра к любой триангуляции того же или гомеоморфного ему полиэдра.

П. С. Александров.