БОЛЬЦА ЗАДАЧА

БОЛЬЦА ЗАДАЧА

- одна из основных задач классического вариационного исчисления на условный экстремум при наличии ограничений типа равенств; сформулирована О. Больца (О. Bolza) в 1913. Б. з. состоит в том, чтобы минимизировать функционал


при наличии дифференциальных ограничений типа равенства:


и граничных условий:


При Б. <з. наз. Лагранжа задачей, при и - Майера задачей. Особенностью Б. <з. является смешанный характер функционала, к-рый представляет собой сумму интегрального функционала и функции от концов. С принципиальной точки зрения Б. <з. равносильна задаче Лагранжа и приводится к ней, если положить


а также - задаче Майера, если положить.


Выбор той или иной формы задачи, а также той топологии, в к-рой затем рассматривается эта задача, диктуется соображениями удобства или конкретной целесообразности. В теории оптимального управления чаще рассматриваются задачи в форме Майера, в классическом вариационном исчислении - в форме Лагранжа. Наиболее употребительна топология пространства непрерывно дифференцируемых функций. Для получения необходимых или достаточных условий экстремума надо накладывать требования гладкости на входящие в определения задачи функции f и gи отображения а также требования о регулярности отображений заключающиеся в том, что матрицы должны иметь максимальный ранг ри т соответственно. Для того чтобы вектор-функция x(t).доставляла экстремум в Б. <з. (аналогично в задачах Лагранжа и Майера), необходимо, чтобы вдоль нее удовлетворялись Эйлера уравнения и Вейерштрасса условие относительно Лагранжа функции, составленной по входящим в задачу данным с Лагранжа множителями, а также Якоби условие и трансверсальности условия.

В приведенной формулировке Б. з. использованы обозначения, характерные для теории оптимального управления. В классическом вариационном исчислении Б. з. формулируют, используя другие обозначения:


Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "БОЛЬЦА ЗАДАЧА" в других словарях:

  • Задача Больца — это задача теории оптимального управления вида Сформулирована Оскаром Больца (нем. Oskar Bolza). В задаче Больца требуется минимизировать функционал смешанного типа. Задача Больца легко сводится к задаче Майера, что позволяет для решения… …   Википедия

  • МАНЕРА ЗАДАЧА — одна из основных задач вариационного исчисления на условный экстремум. М. з. состоит в следующем. Найти минимум функционала при наличии дифференциальных ограничений типа равенств и граничных условий: Подробнее см. Больца задача. М. з. названа по… …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА — 1) В. з. с закрепленными концами задача вариационного исчисления, в к рой концы кривой, доставляющей экстремум, зафиксированы. Напр., в простейшей задаче вариационного исчисления с закрепленными концами заданы начальная и конечная точки через к… …   Математическая энциклопедия

  • ОПТИМАЛЬНОСТИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ — условия, обеспечивающие оптимальность данного решения задачи вариационного исчисления в выбранном классе кривых сравнения. О. д. у. слабого минимума (см. [1]): для того чтобы кривая доставляла слабый минимум функционалу (1) при граничных условиях …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — численные методы раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ЭКСТРЕМАЛЬ — н е о с о б е н н а я э к с т р е м а л ь, экстремаль у(х), во всех точках к рой выполняется условие (1) где F(x, у, у ) подинтегральная функция, входящая в минимизируемый функционал Как всякая экстремаль, Р. э. есть, но определению, гладкое… …   Математическая энциклопедия

  • ЯКОБИ УСЛОВИЕ — необходимое условие оптимальности в задачах вариационного исчисления. Я. у. является необходимым условием неотрицательности 2 й вариации минимизируемого функционала в точке его минимума (равенство нулю 1 й вариации функционала обеспечивается… …   Математическая энциклопедия

  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия

  • Вариационное исчесление — Вариационное исчисление это раздел математики, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы… …   Википедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел мате .матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»