СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия).
Краевая задача для гиперболич. уравнений и систем, заданных в нек-рой области Dевклидова пространства наз. смешанной, или начально-краевой, если искомое решение, наряду с краевыми условиями, должно удовлетворять и начальным или если носитель граничных данных состоит как из характеристических, так и нехарактеристических определенным образом ориентированных многообразий.
Для гиперболич. уравнений 2-го порядка носителем начальных данных при постановке смешанной задачи является пространственно ориентированная часть границы На временным образом ориентированной части как правило, задаются краевые условия такого же типа, как и для параболич. уравнений (см. Смешанная и краевая задачи для параболических уравнений и систем).
Пусть - область пространства точек х= (х ₁,х₂, . . ., х _п) с достаточно гладкой границей а

В области Dзадано линейное гиперболич. уравнение 2-го порядка

где подразумевается суммирование от 1 до ппо повторяющимся индексам i, j и форма положительно определена.
Основные смешанные задачи для уравнения (1) охватываются следующей постановкой: в области Dнайти решение и=и( х, x₀) уравнения (1), удовлетворяющее на начальным условиям

а на S - одному из краевых условий

где N - конормаль относительного оператора

Задачи (2), (3); (2), (4) и (2), (5) принято соответственно называть первой, второй и третьей смешанной задачей для уравнения (1).
Для уравнения (1) при довольно общих предположениях относительно его коэффициентов и границы а также для заданных функций доказаны существование и единственность как регулярных, так и обобщенных решений всех трех смешанных задач, исследованы структурные и дифференциальные свойства этих решений в замкнутой области в зависимости от гладкости ее границы [8]. При п=1 решение сметанных задач выписывается в явном виде.
Смешанные задачи исследованы для широкого класса линейных и нелинейных гиперболич. уравнений и систем (см. Квазилинейные гиперболические уравнения и системы). Построена удовлетворительная теория смешанных задач для строго гиперболич. уравнений и систем вида

с начальными данными на (пространственно ориентированной) части границы области D, лежащей на плоскости х ₀=0. Определенный успех достигнут и при изучении смешанных задач для гиперболич. уравнений и систем в случае, когда носители начальных или краевых условий представляют собой поверхности вырождения типа или порядка этих уравнений (см. Вырожденное уравнение с частными производными).
Наиболее существенные результаты получены для линейных уравнений 2-го порядка вида

с коэффициентами, удовлетворяющими условию

где и - нек-рые положительные постоянные, и особенно для уравнений вида

К смешанным задачам с внутренними или внешними краевыми условиями (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи )редуцируются математич. модели многих процессов теории рассеяния волн на препятствиях. Напр., к условию излучения Зоммерфельда (см. Излучения условия )приводит задача отыскания решения иволнового уравнения

для всех точек лежащих вне ограниченной области если известно, что производная ипо направлению внешней нормали и обращается в нуль для любого момента времени а начальные условия соответствуют плоской волне, идущей из бесконечности в направлении оси х ₁.
Основными краевыми задачами для гиперболич. уравнений и систем являются Гурса, Дарбу - Пикара и их многомерные аналоги (см. Гурса задача, Коши характеристическая задача, а также [1]).
Задачи Гурса, Дарбу - Пикара и их различные обобщения хорошо исследованы для гиперболич. уравнений и систем 2-го порядка с расщепленными главными частями вида

где а, bи с - заданные действительные -матрицы, f- заданный, а и - искомый m-мерные векторы. Существенные результаты получены и для довольно широкого класса гиперболич. систем уравнений 2-го порядка с, нерасщепленными главными частями при отсутствии параболич. вырождения. Обнаружен факт неединственности решения характеристич. задачи Гурса

для гиперболич. системы

с двумя независимыми переменными х, у и найден эффект влияния младших членов на корректность этой задачи [3]. Достаточно полно изучен вопрос влияния характера параболич. вырождений на корректность как локальных, так и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболич. уравнений и систем [3]. В частности, исследованы основные (локальные) краевые задачи для линейных вырождающихся гиперболич. уравнений вида

в ограниченных областях с произвольной кусочно гладкой границей, установлен факт влияния порядка нехарактеристич. вырождения на корректность задачи Дарбу и неравноправия характеристик как носителей краевых условий [10].
В связи с проблемой поиска многомерных аналогов задач Дарбу и Трикоми (см. Смешанного типа уравнения )начались интенсивные исследования нелокальных краевых задач и особенно задачи со смещением (см. [9]) для гиперболич. уравнений, когда на характеристич. частях границы задано условие, поточечно связывающее значения искомого решения или его (дробных) производных или интегралов определенного порядка.
Многие краевые задачи со смещением, изучаемые с большой полнотой и общностью в случае уравнения (1), охватываются следующей постановкой. В области, ограниченной характеристиками

и отрезком I : 0<x<1 прямой у =0,найти (достаточно гладкое) решение и(x, у )уравнения (1), удовлетворяющее на Iлокальному условию

а на - нелокальному условию

Здесь А _i, В _i, а _i - заданные функции, -оператор дробного интегро-дифференцирования порядка задаваемый формулой

если и

если где Г (z) - гамма-функция,- целая часть - точка пересечения характеристики, выходящей из точки с характеристикой Г _j уравнения (1):

Подробно изучены краевые задачи со смещением для уравнения вида (1), к-рые в характеристич. координатах и редуцируются к уравнению Эйлера - Дарбу - Пуассона

Частным случаем задачи (7) - (8) является задача Дарбу, к-рая состоит в отыскании (достаточно гладкого) решения .( х, у )уравнения (6), удовлетворяющего (локальным) краевым условиям

или

Условие m<2 или (условие Геллерстедта), является существенным для корректности задачи Дарбу (см. [3], [10]).
Качественно новым многомерным аналогом задачи Дарбу является задача Бицадзе, к-рая в случае волнового уравнения ставится следующим образом (см. [1]). В конечной области ограниченной частью S₀ плоскости х _n=0 и двумяхарактеристич. поверхностями

и

найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям или
Изучены и другие многомерные аналоги как задачи Дарбу, так и нелокальных краевых задач (типа [2], [3]) для гиперболич. уравнений в специальных областях, нехарактеристич. часть границы к-рых, как правило, представляет собой пространственно ориентированную поверхность. Наиболее полные результаты получены в случае уравнения Эйлера - Дарбу - Пуассона
Для уравнения вида

весьма полно исследована нелокальная задача в следующей постановке. В области {( х, у) :0<x<h, 0<y<Т}найти (достаточно гладкое) решение и( х, у )уравнения (9), если для всех известно, что

или

где x₀, x₁, . . ., x_q - заданные точки из сегмента [0, h].

В теорию краевых задач вносится новый аспект при переходе к гиперболич. уравнениям 3-го порядка вида

к-рые лежат в основе математич. моделей многих процессов и явлений теории тепломассообмена в пористых средах. Построена содержательная теория как локальных, так и нелокальных линейных краевых задач для гиперболич. уравнений вида (10), в частности создан аналог метода Римана.
Для линейных симметрических гиперболич. систем 1-го порядка (см. Линейное гиперболическое уравнение и система) в рамках теории систем уравнений 1-го порядка изучены краевые задачи с допустимыми (см. [6]) краевыми условиями на
Задача Дирихле, вообще говоря, не является корректной для гиперболич. уравнений и систем в произвольных областях. Методами энергетич. оценок и интегральных уравнений установлена корректность этой задачи для широкого класса гиперболич. уравнений 2-го порядка в специальных цилиндрич. областях.

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., 1981; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Gе11еrstedt S., лArk. mat., astr., fys.