БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

числа связанные с декартовыми прямоугольными координатами хи уформулами

где Координатные линии: два семейства окружностей (=const) с полюсами Аи В и семейство окружностей, ортогональных к ним (= const).

Коэффициенты Ламе:

.

Оператор Лапласа:

Б. к. в пространстве (бисферические координаты) наз. числа связанные с декартовыми прямоугольными координатами х, у и z формулами:

где Координатные поверхности: сферы (= const), поверхности, полученные при вращении дуг окружностей (= const), и полуплоскости, проходящие через ось . Система Б. к. в пространстве образуется при вращении системы Б. к. на плоскости вокруг оси Коэффициенты Ламе:

Оператор Лапласа:

ВИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел алгебраич. геометрии, основной задачей к-рого является классификация алгебраич. многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности (см. Бирационалъное отображение). Над фиксированным полем констант kкаждый класс бирационально эквивалентных многообразий определяет конечно порожденное над kполе, изоморфное полю рациональных функций любого многообразия из этого класса. Обратно, каждому такому полю соответствует класс бирационально эквивалентных многообразий - моделей этого поля. Таким образом, бп-рациональная классификация алгебраич. многообразий эквивалентна классификации с точностью до /с-изомор-физма конечно порожденных полей над k.

Наиболее общим б и рациональным инвариантом является размерность алгебраич. многообразий. Для одномерных алгебраич. многообразий - неприводимых алгебраич. кривых - в каждом классе бирациональной эквивалентности существует единственная с точностью до k-изоморфизма гладкая проективная кривая - неособая модель. Тем самым бирациональная классификация алгебрапч. кривых сводится к классификации с точностью до k-изоморфизма гладких проективных кривых, что приводит к модулей проблеме. В размерности >=2 задача сильно усложняется. Уже существование гладкой модели есть проблема разрешения особенностей алгебраич. многообразий, решенная положительно (к 1977) только для поверхностей и для многообразий произвольной размерности над полем характеристики нуль. В том случае, когда такие модели существуют, в классе бирационально эквивалентных многообразий их бесконечно много. Особое место среди них занимают минимальные модели. Их бирациональная классификация во многих случаях совпадает с классификацией с точностью до k-изоморфизма, как и для кривых. Однако даже для поверхностей (а именно, рациональных и линейчатых) это, вообще говоря, не так.

Основные результаты в классификации алгебраических поверхностей были получены геометрами итальянской школы (см. [1]). Для многообразий размерности имеются (к 1977) лишь отдельные результаты (см. [3]).

Основными дискретными бирациональными инвариантами гладких полных алгебраич. многообразий над полем kхарактеристики нуль являются следующие: арифметич. род, геометрич. род, кратный род, размерность пространства регулярных дифференциальных форм, кручения Севери, фундаментальная группа, группа Брауэра.

Одна из важнейших задач Б. г.- проблема рациональности алгебраич. многообразий, т. е. проблема описания рациональных многообразий - многообразий, бирационально эквивалентных проективному пространству.

Если поле констант не является алгебраически замкнутым, то задачи Б. г. тесно связаны с алгебраических многообразий арифметикой. Вэтом случае важной является проблема описания бирациональных k-форм данного многообразия Vнад полем k, в частности, напр., когда - проективное пространство над k(см. [2]). Существенным в заданной задаче является описание группы бирациональных преобразований многообразия V.

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965; [2] Мании Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [3] Roth L., Algebraic threefolds, В., [u.a.], 1955; [4] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [5] Бальдассарри М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974. И. В. Долгачее, В. А. Псковских.