РАВНОВЕСИЯ СООТНОШЕНИЕ

соотношение, выражающее связь между ростом функции f(z), мероморфной при , и ее распределением значении (см. Распределения значений теория). Каждая мероморфная функция f(z) обладает следующим свойством равновесия: сумма ее считающей функции N(r, а, f), характеризующей плотность распределения a-точек f(z), и функции приближения т(r, а, f), характеризующей скорость среднего приближения f(z) к данному числу а, остается инвариантной для различных значений a. Наиболее эффективным Р. с. становится при использовании сферич. метрики.

Пусть

означает сферич. расстояние между двумя числами аи bи пусть для каждого комплексного числа а

где

а n=n(0, а, f) означает кратность а-точки f(z) при z=0. При функция отличается от неванлин-новской функции приближения т(r, а, f) на ограниченное слагаемое. Поэтому на окружности |z| = r < R функция по-прежнему характеризует среднюю скорость приближения f(z) к числу а. Имеет место следующее утверждение. Для каждого значения r, 0r<R, любого комплексного числа аиз расширенной комплексной плоскости и для произвольной мероморфной при функции f(z) выполняется равенство (соотношение равновесия):

где

a n(t, a, f) означает число a-точек f(z), попавших в круг .

После основополагающих работ Р. Неванлинны [1] Р. с. были перенесены на р-мерные целые кривые (см. [3]) и на голоморфные отображения (см. [4], [5]).

Лат.: [1] Nevanlinna R., Analytic functions, N. Y.- В., 1970; [2] Виттих Г., Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям, пер. с нем., М., 1960; [3] Wеуl Н., Mcromorphic functions and analytic curves, Princeton, 1943; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [5] Гриффитс Ф., Кинг Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, [пер. с англ.], М., 1976. В. П. Петренко.