БЕСКОНЕЧНОСТЬ это:

БЕСКОНЕЧНОСТЬ

- понятие, возникающее в различных разделах математики в основном как противопоставление понятию конечного. Понятие Б. используется в аналитич. и геометрич. теориях для обозначения "несобственных" или "бесконечно удаленных" элементов, в теории множеств и математич. логике при изучении "бесконечных множеств" и в др. разделах математики.

1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математич. анализе. Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконечно малой концепция, по к-рой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых "неделимых" (см. "Неделимых" метод), трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

2) Совсем в другой логич. обстановке Б. появляется в математике в виде "несобственных" бесконечно удаленных геометрич. образов (см. Бесконечно удаленные элементы). Здесь, напр., бесконечно удаленная точка на прямой арассматривается как -особый постоянный объект, "присоединенный" к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при к-ром бесконечно удаленной точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой а.

Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя "несобственными" числами , соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел трансфинитными числами В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и "несобственными" бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные, - с другой, возникли термины "потенциальная" Б. (для первых) и "актуальная" Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном понимании, см. ниже) спор между сторонниками потенциальной и актуальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла(как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математич. анализа, должны восприниматься как "потенциальные". Наряду с этим в надлежащей логич. обстановке в математику вполне закономерно входят и "актуальные" бесконечно большие "несобственные" числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы системы действительных чисел и т. д.).

В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных "несобственных" элементов.

а) С проективной точки зрения на прямой находится одна "бесконечно удаленная точка". В обычной метрич. системе координат этой точке естественно приписать абсциссу . Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении рациональных функций , где - многочлены, в тех точках, где имеет нуль более высокого порядка, чем , естественно положить .

Для несобственного элемента устанавливаются такие правила действий:


Неравенства с участием не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше , чем конечное а.

б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами и . Тогда можно положить, что для любого конечного а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для и устанавливаются такие правила действий:


3) Основной интерес, но и основные трудности математич. учения о Б. сосредоточиваются на вопросе о природе бесконечных множеств математич. объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая ныне полная отвлеченность и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в к-рое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что убесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения ув зависимости от к.-л. другого переменного х напр., говорят, что убесконечно мало при , если при любом существует такое , что из вытекает . В самое это определение уже входит предположение, что функция определена для бесконечного множества значений х(напр., для всех действительных х, достаточно близких к а). В теории множеств терминам "актуальная" и "потенциальная" Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности "актуально бесконечным числом". Дело в том, что бесконечные системы математич. объектов (напр., натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо "образовал" множество натуральных чисел, перечислив их фактически "все" одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к п+1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента - действительного числа - приводит к изучению процесса образования его последовательных приближенных значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуума), может характеризоваться как Б. лишь "по-тенциаль'ная". Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как "актуально" заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным. См. также Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости. А. <Н. <Колмогоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "БЕСКОНЕЧНОСТЬ" в других словарях:

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — «БЕСКОНЕЧНОСТЬ», СССР, Ритм (кинокомпания «Мосфильм»), 1991, ч/б, 220 мин. Лирическая драма. «Все проходит», кажется, слова мудрого Соломона. Все конечно. Не соглашаясь с этим, Марлен Хуциев называет свой фильм «Бесконечность». Он появился в… …   Энциклопедия кино

  • бесконечность — бескрайность, беспредельность, неоглядность, бессрочность, вневременность, нескончаемость, безбрежность, термин, необозримость, неограниченность, необъятность, вечность, постоянность, неистощимость, безмерность, безграничность, неиссякаемость,… …   Словарь синонимов

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — (обозначается ∞) (infinity, symbol ∞) Исключительно большая величина. Однако, какой бы большой ни была величина, имеющая предел, всегда можно найти еще большее число. Бесконечность – такое значение , которое больше любого выбранного… …   Экономический словарь

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — (обозначение :), абстрактная величина, представляющая бесконечное число. В математическом анализе, например: 1/х стремится к плюс бесконечности при х стремящемся к нулю со стороны положительных чисел. В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ примером бесконечного… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — БЕСКОНЕЧНОСТЬ, бесконечности, мн. нет, жен. 1. отвлеч. сущ. к бесконечный. 2. Воображаемая величина, большая всякой данной (мат.). ❖ До бесконечности (разг.) очень долго, без конца. Ждать, спорить до бесконечности. Толковый словарь Ушакова. Д.Н.… …   Толковый словарь Ушакова

  • бесконечность — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN infinity …   Справочник технического переводчика

  • Бесконечность — У этого термина существуют и другие значения, см. Бесконечность (значения). Бесконечность  концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого то понятия или атрибута некоторого объекта означает… …   Википедия

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя,… …   Философская энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНОСТЬ — понятие, отражающее безграничность, беспредельность. У Гегеля есть понятие «дурной» или «отрицательной» бесконечности в смысле постоянной смены одних конечных вещей другими, беспрерывного их пространственно временного изменения. По Гегелю… …   Тематический философский словарь

  • Бесконечность — I Бесконечность         в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесконечность — ж. 1. Отсутствие начала и конца, предела во времени; нескончаемость. 2. Пространство, не имеющее видимых пределов, границ; безграничность, бескрайность. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

  • Бесконечность, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Бесконечность — концепция, используемая в математике,… Подробнее  Купить за 1125 руб
  • Бесконечность, Джакомо Леопарди. Великого Джакомо Леопарди (1798–1837) Шопенгауэр назвал «поэтом мировой скорби». Жизнь Леопарди оборвалась рано, и поэтическое наследие его невелико: один сборник стихов Canti (Песни) . И… Подробнее  Купить за 69.9 руб электронная книга
  • Бесконечность, Леопарди Д.. Великого Джакомо Леопарди (1798–1837) Шопенгауэр назвал «поэтом мировой скорби». Жизнь Леопарди оборвалась рано, и поэтическое наследие его невелико: один сборник стихов Canti (Песни). И… Подробнее  Купить за 69 руб
Другие книги по запросу «БЕСКОНЕЧНОСТЬ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»