ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

- линейное представление группы S_m над каким-либо полем К. Если char K=0, то все конечномерные П. с. г. вполне приводимы и определены над Q (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над Q абсолютно неприводимы).

Неприводимые конечномерные представления группы S_m над Q классифицируются следующим образом. Пусть d - какая-либо Юнга диаграмма, отвечающая разбиению l= (l₁,...,l_r).числа т, R_d (соответственно С _d) - подгруппа группы S_m, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел 1,2,..., тв число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы d. Тогда

и

где - разбиение числа т, сопряженное к разбиению l. Существует единственное неприводимое представление группы S_m (зависящее только от l) со следующими свойствами: 1) в пространстве U_l имеется такой ненулевой вектор и _d, что Т _l(g)u_d=u_d для любого ; 2) в пространстве U_l имеется такой ненулевой вектор и ^'_d, что Т _l(g)u^'_d=e(g)u^'_d для любого , где e(g)=+l - четность подстановки g. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы S_m над Q. Векторы и _d и u^'_d определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению l, эти векторы нормируются таким образом, что gu_d=u_gd и gu^'_d=u^'_gd для любого , где gd обозначает диаграмму, получаемую из dприменением ко всем числам подстановки g. Векторы и _d (соответственно и ^'_d), соответствующие стандартным диаграммам d, образуют базис пространства U_l; в этом базисе операторы представления Т _l записываются целочисленными матрицами. Размерность представления Т _l равна

где l_i=l_i+r-i (i=l, . . ., r), а произведение в знаменателе второго выражения берется по всем клеткам c_ij таблицы Юнга t_l, причем l_ij обозначает длину соответствующего крюка.

Разбиению (т).отвечает тривиальное одномерное представление группы S_m, а разбиению (1,...,1) - нетривиальное одномерное представление e (четность). Разбиению l', сопряженному к l, отвечает представление eТ _l. Пространство U_l', канонич. образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством U_l так, что T_l'(g).e(g)._l(g).для любого ; при этом можно считать, что и'_d=u_d,, где d'- диаграмма, получаемая из dтранспонированием.

Построение полной системы неприводимых П. с. г. производится с помощью Юнга симметризаторов, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если d - диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l, то представление T_l, эквивалентно П. с. г. S_m в левом идеале групповой алгебры , порожденном симметризатором Юнга е _d. Апостериорное описание элемента е _d состоит в следующем: T_m( е _d)=0 при , а T_a( е _d) - оператор ранга 1, действующий по формуле T_a( е _d) и=( и _d, u)u^'_d для любого , где ( , ) - подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве U_l -При этом

Производящая функция для характеров представлений Т _l дается Фробениуса формулой. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана - Накаямы: пусть - значение характера представления Т _l на классе сопряженных элементов группы S_m, определенном разбиением m числа m, и пусть разбиение m, содержит число р. Через обозначается разбиение числа m-р, получаемое из m выбрасыванием числа р. Тогда

где сумма берется по всем разбиениям числа m- р, получаемым удалением косого крюка длины риз таблицы Юнга t_l, а обозначает высоту удаленного косого крюка.

Имеется также метод (см. [5]), позволяющий найти целиком таблицу характеров группы S_m, т. е. матрицу A=||а _lm||. Пусть M_l, есть П. с. г. S _т, индуцированное тривиальным одномерным представлением подгруппы R_l=R_d, где d - диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l. И пусть M_l=S_mm_lmT_m, а M=||m_lm||. Если считать, что строки и столбцы матрицы Мрасположены в порядке лексикографич. убывания индексов (разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали. Значение характера представления M_l на классе равно

где c_m - порядок централизатора подстановки из класса. Матрица В=||b_lm|| является верхней треугольной, и имеет место соотношение ММ ^Т=ВС ^-1 В ^Т, где C=diag(c_m), из к-рого однозначно определяется матрица М. После этого матрица Анаходится по формуле

А = М ^-1 В.

Ограничение представления Т _l группы S_m на подгруппу S_m-1 находится по правилу ветвления:

где суммирование распространяется на те i, для к-рых l_i>l_i+1 (включая r). Ограничение представления Т _l на подгруппу A_m при абсолютно неприводимо, а при l=l' распадается над квадратичным расширением поля в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. Получаемые таким образом представления группы А _m исчерпывают все ее неприводимые представления над . О II. с. г. в тензорах см. в ст. Представления классических групп.

Разработана также теория модулярных П. с. г. (см., напр., [5]).

Лит.:[1] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Мурнаган Ф. Д., Теория представлений групп, пер. с англ., М.. 1950; [3] Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; [4] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [5] Джеймс Г., Теория представлений симметрических групп, пер. с англ., М., 1982. Э. Б. Винберг.