ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

теории вероятностей - общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) и П. Лапласом (P. Laplace, 1812), относятся к распределению отклонений частоты m _п/п появления нек-рого события Епри nнезависимых испытаниях от его вероятности р,0<р<1 (точные формулировки см. в статьях Бернулли теорема, Лапласа теорема). С. Пуассон (S. Poisson, 1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность p_k наступления события Ев k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при распределения отклонений частоты m_n/n от среднего арифметического вероятностей (см. Пуассона теорема). Если обозначить через Х _k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Ев k-м испытании, и значение, равное нулю при появлении противоположного события, m_n можно представить в виде суммы

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи двух более общих утверждений, относящихся к суммам независимых случайных величин - больших чисел закона и центральной предельной теоремы (к-рые приводятся нише в их классич. формулировке).

Закон больших чисел.

Пусть

(1)

- последовательность независимых случайных величин, s_n - сумма первых пиз них:

(2) А _п и - соответственно математич. ожидание

и дисперсия

суммы s_n. Говорят, что последовательность (1) подчиняется закону больших чисел, если при любом e>0 вероятность неравенства

стремится к нулю при

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (1867) и затем обобщены А. А. Марковым (1906). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда случайные величины Х _п имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины Х _n должны иметь конечные математич. ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (1) применима центральная предельная теорема, если при любых z₁ и z₂ вероятность неравенства

z₁ В _n < s_n - A_n < z₂B_n имеет пределом при величину

Ф(z₂) -Ф(z₁),

где

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной П. т. были указаны П. Л. Чебышевым (1887), но в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже А. А. Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляцуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть

Если отношение стремится к нулю при , то к последовательности (1) применима центральная П. т. Окончательное решение вопроса об условиях применимости центральной П. т. получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (W. Feller, 1935). В условиях центральной П. т. относительная точность аппроксимации вероятности неравенства типа s_n-A_n>z_nB_n, где z_n неограниченно растет вместо с n, величиной 1-Ф(z_n) может быть весьма невысокой. Необходимые для повышения точности поправочные множители указываются в П. т. для вероятностей больших отклонений (см. Больших отклонений вероятности, Крамера теорема). Вслед за Г. Крамером (Н. Cramer) и В. Феллером вопрос исследовался Ю. В. Линником и др. Типичные результаты, относящиеся к этой области, легче всего пояснить на примере сумм (2) независимых одинаково распределенных случайных величин Х ₁ ,. . ., Х _п,... с EX_j=0 и DX_j=1;в этом случае

A_n=0,

Пусть, напр., рассматривается вероятность неравенства

Эта вероятность равна 1-F_n(z_n), где F_n(z) - функция распределения величины и при фиксированных z_n=z и

(3)

Если z_n зависит от п, причем так, что при , то

и формула (3) становится бесполезной. Необходимы оценки для относительной точности аппроксимации, т. <е. для отношения 1-F_n(z_n).к 1-Ф(z_n). В частности, естественно возникает вопрос об условиях, при к-рых

(4)

для .

Соотношение (4) может выполняться при любом росте z _п только при условии, что сами слагаемые имеют нормальный закон (этот вывод верен уже при z_n по порядку, больших ). Если же слагаемые не являются нормальными, то это соотношение может выполняться лишь в определенных зонах, к-рые по порядку не превосходят . Наиболее "узкие" (логарифмического порядка) зоны получаются при условии конечности определенного числа моментов. При этом в определенных условиях "регулярности" плотности слагаемых можно проследить переход "нормальной" асимптотики в степенную. Напр., если плотность слагаемых X_j равна

то равномерно по zпри

учитывая, что при

легко понять, при каких z имеет место (4). Расширение зоны до степенной (вида п ^a,a<¹/₂), требует условия

(5)

и совпадения определенного (зависящего от a) числа моментов X_j с соответственными моментами нормального распределения. Если же условие совпадения моментов не выполнено, то отношение в левой части (4) описывается в терминах ряда Крамера (при так наз. условии Крамера, см. Крамера теорема).или его начальных отрезков (при выполнении условий типа (5)).

Оценки вероятностей больших отклонений используются в математич. статистике, статистич. физике и т. д.

Из других направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.

1) Начатые А. А. Марковым и продолженные С. Н. Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной П. т. к суммам зависимых случайных величин.

2) Даже в случае последовательности одинаково распределенных случайных величин можно указать простые примеры, когда "нормированные" (т. е. подвергнутые какому-либо линейному преобразованию) суммы (s_n -а _п)/b _п, где а _п, b_n>0 - постоянные, имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идет о невырожденных распределениях, т. е. распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке) (см. Устойчивое распределение). В работах А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, П. Леви (P. Levy), В. Дёблина (W. Doeblin) и др. полностью изучены как класс возможных распределений для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению (в схеме серий случайных величин при условии асимптотической пренебрегаемости слагаемых) (см. Безгранично делимое распределение, Случайный процесс с независимыми приращениями).

3) Значительное внимание уделяется т. н. локальным предельным теоремам. Пусть, напр., случайные величины Х _n принимают лишь целые значения. Тогда суммы s_n принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей Р _п (т).того, что s_n=m, где m- целое. Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа. Другой тип локальных П. т. описывает предельное распределение плотностей распределения сумм.

4) П. т. в их классич. постановке описывают поведение отдельной суммы s_n с возрастанием номера п. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от нескольких сумм, получены впервые А. Н. Колмогоровым (1931). Так, напр., из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства

имеет пределом величину

Наиболее общий способ доказательства подобных П. т.- предельный переход от дискретных процессов к непрерывным.

5) Перечисленные выше П. т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда. Эти П. т. подробно изучены Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирновым и др.

6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., напр., Больших чисел усиленный закон, Повторного логарифма закон).

О методах доказательства П. т. см. в статьях Характеристическая функция, Распределений сходимость.

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.- Л., 1949; [2] Ибрагимов И. А., Линии к Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; [3] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [4] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.

Ю. В. Прохоров.