ПЛОТНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения последовательностей общего вида. П. п. является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности целых чисел a₀=0<1 а ₁< а ₂<...<. Под понятием П. п. имеется в виду плотность d(A).(введенная в 1930 Л. Г. Шнирельманом) последовательности А, а именно:

где

Плотность d(A)=l тогда и только тогда, когда Асовпадает с множеством N₀ всех целых неотрицательных чисел. Пусть А+В - арифметич, сумма последовательностей А={ а _k} и В= {b_i}, т. е. множество А+В={a_k+b_i}, где числа a_k+b_i берутся без повторений. При А=В полагают 2А - А-{-А, аналогично ЗА=А+А+А и т. д. Если hA=N₀, то Аназ. базисом h- гопорядка. При исследовании структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей, заданных лишь их плотностями, используются теоремы о плотности суммы двух последовательностей:

- неравенство Шнирельмана,

- неравенство Манна - Дайсона.

Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в к-рых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Напр., с помощью методов решета доказывается, что последовательность {р}+{p}, где рпробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число с ₀>0) что любое натуральное число есть сумма не более с ₀ простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха (см. также Аддитивная теория чисел).

Разновидностью понятия П. п. является понятие асимптотический плотности, частным случаем к-рой будет натуральная плотность. Понятие П. п. обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, напр. на последовательности целых чисел в полях алгебраич. чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраич. полях.

Лит.:[1] Гельфонд А. О., Линник Ю. В., Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962; [2] Оstmann H.-H., Additive Zahlentheorie, Bd 1-2, В., 1956.

Б. М. Бредихин.