ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ТЕОРИЯ

на алгебраическом многообразии - теория пересечений алгебраич. подмногообразий и циклов. Пусть X - гладкое алгебраич. многообразие размерности пнад полем k, a Yи Z - подмногообразия Xкоразмерности i и j соответственно. Если Yи Zпересекаются транс-версально, то является гладким подмногообразием коразмерности i+j, к-рое обозначается В общем случае паре (Y,Z) сопоставляется алгебраический цикл Y^.Z коразмерности i+j;. Идея его определения состоит в том, чтобы заменить Y и Z на эквивалентные в каком-то смысле циклы Y' и Z', находящиеся уже в общем положении, и взять затем пересечение Y' и Z'; конечно, при этом цикл Y'^.Z' также определен с точностью до эквивалентности.

Пусть А ⁱ (Х) - группа классов алгебраич. циклов коразмерности i на Xпо модулю рациональной эквивалентности; .

Теория пересечений Чжоу состоит из построения трех частей:

а) структуры градуированного коммутативного кольца на (X).для каждого гладкого квазипроективного многообразия X;

б) гомоморфизма градуированных колец для каждого морфизма (обратный образ);

в) гомоморфизма групп степени dimY-dimX для каждого собственного морфизма (прямой образ).

При этом структуры а), б), в) связаны рядом соотношений, важнейшими из к-рых являются:

формула проекции: для собственного морфизма и циклов и

редукция к диагонали: если - диагональный морфизм, а , то

Кроме того, существует естественный гомоморфизм

что позволяет построить теорию Чжэня классов со значениями в кольце Чжоу, и в частности характер Чжэня

являющийся гомоморфизмом колец.

Проще всего определяется гомоморфизм прямого образа f_*. Пусть - неприводимое подмногообразие; если dimf(Z)<dimZ,то f_* (Z) = 0, если dim f(Z)=dimZ, то f_*(Z)=d^.f(Z), где d - степень Z над f(Z). По линейности определение продолжается на циклы и классы циклов. Гомоморфизм обратного образа f* сводится к умножению циклов по формуле

где - проекция, а - график f. Определение умножения циклов делается в два этапа. Пусть сначала Y и Z - неприводимые подмногообразия в X, к-рые пересекаются собственно (т. е. коразмерность равна сумме коразмерностей Y и Z). Каждой компоненте Wпересечения приписывается нек-рое целое положительное число i(Y, Z; W) - локальная кратность пересечения. Есть несколько определений числа i(Y, Z; W), напр. Tor-формула Серра:

где А - локальное кольцо - идеалы Y и Z,a l - длина А- модуля. После этого полагают

где Wпробегает неприводимые компоненты

Второй этап - лемма Чжоу о сдвиге - состоит в утверждении, что для произвольных циклов Y, Z на квазипроективном многообразии Xсуществует цикл Z', рационально эквивалентный Z, к-рый пересекается собственно с Y; более того, класс рациональной эквивалентности не зависит от Z'.

Наиболее интересен случай проективного многообразия X;применяя функтор прямого образа к структурному морфизму , получают отображение степени . По существу, степень цикла - это число точек в нульмерной компоненте цикла. Композиция умножения со степенью позволяет численно измерять пересечение. Напр., если Yи Z имеют дополнительные размерности, то получается пересечения индекс (число) Y и Z. Аналогично, получается индекс пересечения пдивизоров :

Напр., кольцо Чжоу проективного пространства Р ⁿ порождается классом гиперплоскости Н, причем . Поэтому если D₁...,D_n - гиперповерхности степени d₁...,d_n, то (D₁,..,D_n) = d₁^....^.d_n (теорема Безу). Степень проективного многообразия размерности kопределяется как индекс пересечения Y с линейным подпространством дополнительной размерности; если многообразия Yи Z пересекаются трансверсально, то степень есть произведение степеней Y и Z.

Для собственно пересекающихся эффективных дивизоров , но в общем случае это уже неверно. Напр., для исключительной кривой Ена поверхности ( Е, Е)=-1.

Многими формальными свойствами теории колец Чжоу обладают другие теории: циклы по модулю алгебраической или численной эквивалентности, К-теория, теория сингулярных когомологий (в случае ), теория l-адических когомологий (см. также Вейля когомологий). Это приводит к аксиоматич. построению теории пересечения как сопоставления каждому многообразию X(из нек-рой категории) кольца С(X).и гомоморфизмов f^* и f_*, связанных рядом аксиом типа формулы проекции или редукции к диагонали (см. [1]). Сравнение различных П. т. приводит к полезным соотношениям. Напр., в комплексном случае понятие фундаментального цикла позволяет определить гомоморфизм теорий пересечений , что позволяет использовать трансцендентные методы. Сравнение K-теории и теории Чжоу приводит к теореме Римана - Роха - Гротендика. Важную роль при этом играет поведение П. т. при моноидальном преобразовании (см. [2]). Другое применение П. т. относится к обоснованию исчислительной геометрии Шуберта (см. [3]). Эту ветвь геометрии можно рассматривать как теорию колец Чжоу различных многообразий, классифицирующих геометрич. объекты - многообразия Грассмана, многообразия флагов и т. д.

Лит.:[1] Anneaux de Chow et Applications, Seminaire Chevalley, Seer. Math., P., 1958; [2] Mанин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии, ч. 2, М., 1971; [3] Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 175-81; [4] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [5] Серр Ж. <П., "Математика", 1963, т. 7, с. 3-93; [6] Theorie des intersections et theoreme de Riemann - Roch, В.- Hdlb,- N.Y., 1971; [7l Algebraic geometry, Arcata 1974, Providence, 1975; Xартcхорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981.

В. И. Данилов.