ПАРАМЕТРА ВАРИАЦИИ МЕТОД

- метод приближенного решения нелинейных (и линейных) функциональных и операторных уравнений в банаховых пространствах , а также для качественных исследований. П. в. м. состоит в том, что уравнение Р(х)=0, где оператор Р(х).непрерывно дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или нек-рый нелинейный функционал Ф(х), связанный с решением лтого уравнения, обобщаются путем введения вспомогательного числового (или общего функционального) параметра l, принимающего значения на конечном или бесконечном промежутке , так: , где ,- оператор со значениями в Y, так что Р(х)=0 получается при , а уравнение легко разрешается или известно его решение x₀. При этом предполагается, что оператор непрерывно дифференцируем (в смысле Фрете) по хи l, т. е. существуют непрерывные частные производные и , и что существует непрерывный оператор из Yв X. Для построения решения уравнения на всем интервале l₀ll* строится соответствующая дифференциальная задача (задача Коши) в предположении, что непрерывно дифференцируемая функция со значениями в X, определяемая этим уравнением:

или

Интервал разбивается точками <.на более мелкие подинтервалы длины , k=1,2,..., п, и к задаче Коши (2) (или (1)) применяются методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом (или несколько таких методов). В результате для построения решения х(l) уравнения F(x, А,)=0 получаются П. в. м. соответствующих типов. Построенное значение х(l*).будет решением уравнения Р(x)=0.

Решение на каждом шаге линейных относительно задач вида (1) или обращение линейных операторов в (2), или последовательная аппроксимация обратного оператора проводятся различными методами или опять-таки П. в. м.

Шаги выбираются различными способами, напр. из условия минимума нормы невязки как функции многих, вообще говоря, переменных. При этом эффективным является также совместный выбор и свободных параметров метода численного интегрирования, напр. Рунге- Кутта методаs-ro порядка точности, использование корней полиномов Чебыптева и близких к ним и др.

Задача Коши (2) служит не только средством для определения приближенного решения рассматриваемого уравнения, но и для доказательства существования самого решения. Изучен ряд различных способов введения параметра l. В качестве числового параметра l, может быть использован также и один из естественных параметров, содержащихся в рассматриваемой задаче.

В зависимости от способа введения параметра lП. в. м. является прямым или итерационным методом. Совместное применение прямого и итерационного методов наз. комбинированным П. в. м. Напр., итерационный метод типа усовершенствованного метода

Эйлера - Коши с шагом (при F(x,l)=P(x).(1-l)Р( х ₀),l=0 и l*=1).является методом 3-го порядка точности и имеет следующий вид:

Каждый метод численного интегрирования порождает свой итерационный П. в. м. высокого порядка точности, причем без привлечения производных Р(х).порядка выше первой.

Использование методов численного интегрирования в прямом П. в. м. совместно с корректировкой результатов после каждого шага с помощью итерационного П. в. м. (комбинированный П. в. м.) представляет собой один из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач.

П. в. м. достаточно хорошо разработан и исследован для широкого класса задач. Первоначально он был предложен для систем алгебраич. и трансцендентных уравнений, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, а затем для решения более общих нелинейных и операторных уравнений. Изучены условия, при к-рых гарантируется разрешимость уравнения Р(х)=0 и возможность построения его решения интегрированием задачи Коши (2) на интервале и установления области его расположения. Изучены условия сходимости и даны, оценки погрешности. Исследованы также вопросы применения П. в. м. для обращения и псевдообращения линейных операторов, построения псевдорешений (и решений) линейных функциональных уравнений с минимальным уклонением по норме (в заданном подпространстве) от начального значения, суммирования операторных рядов и построения нек-рых классов проекторов, определения начальных приближений для итерационных процессов, решения операторных дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры, для доказательства разрешимости нелинейных систем, связанных с вариационными задачами, и построения их решений, минимизации функционалов и многих других. Изучены обширные классы эффективных модификаций П. в. м., в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора или . Изучены также широкие классы задач ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. (Впрочем, случай ветвления может быть блокирован другим способом введения параметра lили путем введения дополнительного параметра т.) П. в. м. исследован также как метод "градиентного" типа, а также без предположения существования Г(х).

См. также Продолжения по параметру метод.

Лит.:[1] Давиденко Д. Ф., "Докл. АН СССР", 1953, т. 88, №4, с. "01-02; [2]. его же, "Укр. матем. ж.", 1955, т. 7, с. 18-28; [3] Гавурин М. К., "Изв. ВУЗов. Математика", 1958, № 5, с. 18-31; [4] Поляк Б. Т., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1964, т.. 4, М 6, с. 995-1005; [5] Давиденно Д. Ф., "Докл. АН СССР", 1965, т. 162, № 3, с. 499- 502; [6] Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [7] Kleinmichel H., "Math. Nachr.", 1968, Bd 37, Н. 5/6, S. 313-43; [8] Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [9] Лика Д. К., Шафиев Р. А., "Изв. АН Молд. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук", 1970, .N5 2, с. 13-18; [10] Жидков Е. П. [и др.], "Физика элементарных частиц и атомного ядра", 1973, т. 4, в. 1, с. 127-06; [11] Давиденко Д. Ф., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1975, т. 15, № 1, с. 30-47; [12] Ортега Д ж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [13] Келлер Г., в кн.: Методы вычислительной и прикладной математики, в. 2, Новосиб., 1977, с. 6-36; [14] Давиденко Д. Ф.,. в кн.: Математическое программирование и смежные вопросы. Вычислительные методы, М., 1976, с. 187- 212; [15] Коляда Ю. В., Си горский В. П., "Кибернетика", 1980, № 3, с. 24-28. Д. Ф. Давиденко.