ОСЦИЛЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА

вполне неотрицательная матрица Атакая, что существует целое положительное число , для к-рого - вполне положительная матрица; при этом матрица Аназ. вполне неотрицательной (вполне положительной), если все ее миноры любого порядка неотрицательны (положительны). Наименьший из показателей наз. показателем О. м. Если А - О. м. с показателем , то при любом целом матрица вполне положительна; натуральная степень О. м. и матрица - также О. м. Для того чтобы вполне неотрицательная матрица была О. м., необходимо и достаточно, чтобы: 1) Абыла неособенной матрицей, 2) при i=l, . . ., n было выполнено ,

Основная теорема для О. м.: О. м. всегда имеет n различных положительных собственных значении; у собственного вектора и ¹, отвечающего наибольшему собственному значению l₁, все координаты отличны от нуля и одного знака; у собственного вектора u^s, соответствующего s-му по величине собственному значению l_s, имеется точно s-1 перемен знака; при любых действительных числах ,

, в ряду координат вектора

число перемен знака заключается между

g-1 и h - 1.

Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, 2 изд., М.- Л., 1950. В. И. Ломоносов.