НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЙ ОПЕРАТОР

- линейный оператор с замкнутой областью значений. Пусть А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Xобластью определения и с областью значений R(А)в банаховом пространстве Y. Тогда А- Н. р. о., если т. е. если R(A)является замкнутым подпространством в Y. Пусть - оператор, сопряженный к А. Для того чтобы Абыл Н. р. о., необходимо и достаточно, чтобы т. е.

чтобы область значений Аявлялась ортогональным дополнением к подпространству нулей оператора Пусть дано уравнение с Н. р. о.

(нормально разрешимое уравнение). Если т. е. однородное сопряженное уравнение имеет только тривиальное решение, то R(A)=Y. Если же то для разрешимости (*) необходимо и достаточно, чтобы для всех решений уравнения

Пусть ниже А- замкнутый оператор. Н. р. о. Аназ. п- нормальным, если его подпространство нулей N(А)конечномерно

Н. р. о. Аназ. d-нормальным, если его дефектное подпространство конечномерно . n-нормальные и d-нормальные операторы наз. иногда полуфредгольмовыми. Для того чтобы оператор Абыл n-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого компактного множества из R(А). был локально компактным.

Пусть Xкомпактно вложено в банахово пространство . Для га-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки

Оказывается, оператор А d -нормален тогда и только тогда, когда n-нормален. При этом

Следовательно, если компактно вложено в банахово пространство Z, то для d-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки

Пара чисел (п(А), d(A))наз. (d-характеристикой оператора А. Если Н. р. о. А n -нормален или d-нормален, то число

наз. индексом оператора А. Свойства n-нормальности и d-нормальности устойчивы: если А- п-нормален (d-нормален), а В - линейный оператор малой нормы или вполне непрерывный, то A+В n-нормален (d-нормален).

Лит.:[1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937, с. 266 - 90; [2] Аткинсон Ф., "Матем. сб.", 1951, т. 28, № 1, с. 3-14; [3] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971.

В. А. Треногий.