АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ это:

АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство имеет типовым слоем аффинное пространство размерности . Структурой такого Ек каждой точке присоединяется экземпляр аффинного пространства , к-рый отождествляется с касательным центроаффинным пространством . А. с. предусматривает такое сопоставление каждой гладкой кривой с началом и каждой ее точке аффинного отображения , что удовлетворяется ниже сформулированное условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в каждой из к-рых фиксировано гладкое поле аффинного репера в , у к-рого начало совпадает с (т. е. фиксированы пгладких векторных полей, линейно независимых в каждой точке области). Требуется, чтобы при , когда перемещается по до , отображение стремилось к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего определялось относительно некоторого из реперов системой линейных дифференциальных форм


Итак, образом при репера в точке является система из точки в с радиус-вектором

и пвекторов где X - касательный вектор к Lв точке х 0 , причем


Многообразие Мс заданной на ней А. с. наз. пространством аффинной связности. При преобразовании репера поля в произвольной точке согласно формулам т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства Рреперов в касательных пространствах с началами в точке , формы (1) заменяются следующими 1-формами на Р:


а 2-формы


преобразуются так:


где и составлены согласно (3) из форм (2). Уравнения (3) называются структурными уравнениями А. с. на М, где левые части - так наз.

кручения формы и кривизны формы - полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями :


Любые 1-формы заданные на Ри удовлетворяющие уравнениям (3) с левыми частями вида (4), определяют нек-рую А. с. на М. Отображение для кривой получается следующим ооразом: нужно выбрать нек-рое гладкое поле репера в координатной окрестности начала кривой L, п образ репера в точке определить как решение системы


при начальных условиях - уравнения кривой L. Кривая, описываемая в точкой с радиус-вектором относительно , наз. разверткой кривой L. Поле репера в координатной окрестности можно выбрать так, чтобы тогда На пересечении координатных окрестностей


и


Здесь и составляют, соответственно, кручения тензор и кривизны тензор А. с. на М. А. с. на Мможет быть задана системой функций на каждой координатной окрестности, преобразующейся на пересечении окрестностей по формуле (5) - так наз. объектом А. с. Отображение получается с помощью системы (5), в к-рую следует подставить


Если в нек-рой окрестности точки дано векторное поле , то при вектор отображается в вектор (где - решение системы (5)), дифференциал к-рого в при :


наз. ковариантным дифференциалом поля Xотносительно данной А. с. Здесь


образуют тензорное поле, наз. ковариантной производной поля Если дано второе векторное поле то определяется ковариантная производная поля X в направлении Y:


к-рая относительно произвольного поля репера может быть определена также формулой


А. с. на Мможет быть задана и как билинейный оператор , к-рый двум векторным полям ставит в соответствие третье и обладает свойствами:


где f - гладкая функция на М. Связь с вышеуказанными способами задания устанавливается формулой: где - поле репера; поля тензоров кручения и кривизны


определяются формулами


Векторное поле наз. параллельным вдоль кривой , если тождественно относительно , т. е. если вдоль


Параллельными векторными полями осуществляется параллельное перенесение векторов (и вообще тензоров) в А. с., представляющее собой линейное отображение касательных векторных пространств , определяемые отображением В этом смысле каждая А. с. порождает нек-рую линейную связность на М.

Кривая Lназ. геодезической линией в данной А. с., если ее развертка является прямой линией; другими словами, если в подходящей параметризации ее касательное векторное поле параллельно вдоль ее. Относительно локальной координатной системы геодезич. линии определяются системой


Через каждую точку в каждом направлении проходит одна геодезическая.

Существует взаимно однозначное соответствие между А. с. на Ми связностями в главных расслоенных пространствах свободных аффинных реперов в ими порождаемыми. Замкнутым кривым с началом и концом в хсоответствуют аффинные преобразования к-рые образуют неоднородную голономии группу данной А. с. Соответствующие линейные автоморфизмы образуют однородную группу голономии. Согласно теореме о голономии алгебры Ли этих групп определяются 2-формами кручения и кривизны Для последних имеют место тождества Бианки:


к-рые, в частности, для А. с. без кручения, когда сводятся к следующим:


Понятие А. с. возникло в 1917 в римановоп геометрии ( в виде Леви-Чивита связности);самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 в работах Г. Вейля [1] и Э. Картана [2].

Лит.:[1] Weyl H., Raum, Zeit, Materie, 5 Aufl.. В., 1923; [2] Сartan E., "Ann. sclent. Eсо1е norm, super.", 1923, т. 40, p. 325-412; 1924, t. 41, p. 1-25; 1925, t. 42, p. 17-88; [3] Кapтан Э., Пространства аффинной, проективной и конформной связности, пер. с франц., Казань, 1962; [4] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [5] Постников М. М., Вариационная теория геодези-чееких, М., 1965. Ю. Г. Лумисте.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ" в других словарях:

  • Аффинная связность — Аффинная связность  линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

  • Связность (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Связность. Связность  структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения. Точнее: Пусть дано гладкое расслоение ,… …   Википедия

  • Связность Леви-Чивиты — или связность, ассоциированная с метрикой  аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен. То есть аффинная связность на римановом… …   Википедия

  • Связность Леви-Чивита — Связность Леви Чивиты или связность, ассоциированная с метрикой  аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен. То есть аффинная связность… …   Википедия

  • Связность —         понятие дифференциальной геометрии, возникшее в связи с понятием параллельного перенесения (См. Параллельное перенесение). С. определённый тип связей (сопоставлений) геометрических образов, относящихся к различным точкам рассматриваемого… …   Большая советская энциклопедия

  • АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной …   Математическая энциклопедия

  • ВЕЙЛЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность без кручения на римановом пространстве М, обобщающая Леви Чивита связность в том смысле, что ковариант ный дифференциал метрич. тензора пространства Мотносительно нее необязательно, равен нулю, но является пропорциональным… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на римановом пространстве М, относительно к рой метрич. тензор пространства gij является ковариантно постоянным. Если аффинная связность на Мзадана с помощью матрицы локальных форм связности . (1) и метрич. формой на Мявляется …   Математическая энциклопедия

  • ЭКВИАФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на гладком многообразии Мразмерности п, обладающая ковариантно постоянной относительно нее отличной от нуля n формой ф на М. Форму Ф (X1, . . ., Х п) можно интерпретировать как объем параллелепипеда на векторах полей X1 …   Математическая энциклопедия

  • СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на гладком многообразии Мразмерности 2n, обладающая ковариантно постоянной относительно нее невырожденной 2 формой Ф. Если аффинная связность на Мзадана с помощью локальных форм связности и то условие ковариантного постоянства… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»