АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ

сравнение вида:

где

- многочлен от переменных с целыми рациональными коэффициентами . Максимальное значение величины

где максимум берется по всевозможным наборам для к-рых , наз. степенью по совокупности переменных или степенью алгебраического сравнения (1). Максимальное значение величины где максимум берется по тем же наборам наз. степенью алгебраического сравнения (1)по переменной .

Основным вопросом в теории А. с. является вопрос о числе решений того или иного сравнения. При этом можно ограничиться лишь случаем простого модуля, поскольку вопрос о числе решений А. с. (1) по составному модулю т, за исключением нек-рых вырожденных случаев, сводится к вопросу о числе решений сравнений по простым модулям р, делящим т.

Среди А. с. от одной переменной наиболее изучены двучленные сравнения

Исследование вопроса о числе решений сравнения в случае многочлена общего вида встречает значительные трудности и при его решении получены лишь отдельные частные результаты. Систему сравнений

можно трактовать как систему алгебраич. уравнений:

над простым конечным полем , состоящим из рэлементов; число решений этой системы сравнений будет числом - рациональных точек алгебраического многообразия, определяемого системой уравнений (2). Поэтому, наряду с теоретико-числовыми методами, к изучению А. с. или систем А. с. применяются методы алгебраич. геометрии.

Среди А. с. от нескольких переменных более полно исследованы сравнения вида

Именно, для числа решений А. с. этого вида, где - абсолютно неприводимый многочлен, получена оценка

Здесь константа gзависит лишь от многочлена и равна роду кривой В первом нетривиальном случае - для эллиптич. сравнения

такую оценку получил X. Хассе (Н. Hasse) в 1934, основываясь на формуле сложения точек Якоби многообразия кривой Позже метод Хассе был распространен А. Вейлем [4] на случай абсолютно неприводимых многочленов F. В [3] указанная оценка была получена с помощью элементарных методов.

А. с. с числом переменных изучены значительно слабее. В качестве общего результата можно отметить теорему Шевалле, утверждающую, что если - форма, степень к-рой строго меньше числа переменных, то число решений сравнения

положительно и делится на р;для однородных многочленов существование решения не гарантируется; но делимость на ростается в силе (теорема Варнин-г а). Существуют обобщения последней теоремы на случай систем сравнений.

Теория А. с. имеет многочисленные применения в других разделах теории чисел - в теории диофантовых уравнений, задачах аддитивной теории чисел, теории алгебраич. чисел и т. д.

Лит.: [1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] Степанов С. А., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 237-46; [4] Weil A., Sur les courbes algebriques et les varietes qui s'en deduisent, P., 1948. С. А. Степанов.