ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ это:

ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ

- алгебраическое сравнение вида

(1)

где а, т- взаимно простые целые числа, а - натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. невычетом степени ппо модулю т.

Вопрос о разрешимости Д. с. по составному модулю тсводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р(см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler): для разрешимости сравнения

необходимо, чтобы выполнялось условие

где d - наибольший общий делитель чисел пи р-1; при выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно d решений.

Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2, ..., р-1 имеется в точности (р-1)/d вычетов и (d-1)(d-1)/d невычетов степени ппо модулю р.

Значительно сложнее обратная задача: найти все модули р, по к-рым заданное число аявляется вычетом (или невычетом) степени Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения x2=a(mod p)зависит от того, принадлежит или нет простой модуль рнекоторым арифметич. прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801; см. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i]. Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения z4=w(mod p)в кольце Z[i]при заданном зависит от того, каков вычет числа рпо нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i].

Новый этап в изучении Д. с. и их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество Rквадратичных вычетов по простому модулю рсреди чисел 1, 2, ...,Q, выражается формулой

где Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений сравнения когда упробегает неполную систему вычетов 1<y<Q.

Лит.:[1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел. М.-Л., 1937; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] его же, Избр. труды, М., 1952; [4] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер.1, М., 1959.

С. А. Степанов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ — сравнение, в к ром модуль является простым числом. Отличительной чертой теории С. по п. м. является то, что классы вычетов по модулю . образуют конечное поле из рэлементов. Поэтому С. по п. м. можно трактовать как уравнения над простыми конечными …   Математическая энциклопедия

  • СРАВНЕНИЕ — соотношение между целыми числами а и и вида a=b+mk, означающее, что их разность а b делится на заданное целое положительное число т, наз. модулем сравнения; при этом аназ. вычетом целого числа bпо модулю т. Для выражения сравнимости чисел аи bпо… …   Математическая энциклопедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ И НЕВЫЧЕТОВ — распределение среди чисел 1, 2,. . ., т 1 тех значений х, для к рых сравнение n>1 целое, разрешимо (неразрешимо). В вопросах, связанных с Р. с. в. и н., наиболее полно изучен случай простого модуля р. Пусть q=( п, р 1). Тогда сравнение… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»