ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА

- одна из известных проблем теории чисел; заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 X. Гольдбах (Ch. Goldbach) в письме к Л. Эйлеру (L. Euler). В ответ Л. Эйлер заметил, что для решения проблемы достаточно доказать, что каждое четное число есть сумма двух простых. В течение долгого времени не удавалось найти никаких путей исследования Г. п. В 1923 Г. Харди и Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlewood) удалось показать, что если верны нек-рые теоремы (не доказанные и ныне) относительно L-рядов Дирихле, то всякое достаточно большое нечетное число есть сумма трех простых чисел. В 1937 И. М. Виноградов создал новый метод в аналптпч. теории чисел - метод оценок тригонометрич. сумм с простыми числами, с помощью к-рого доказал асимптотич. формулу для количества представлений нечетного числа суммой трех простых чисел. Из этой формулы следует, что каждое достаточно большое нечетное число есть сумма трех простых чисел. Это - одно из крупнейших достижений современной математики. Метод И. М. Виноградова позволил решить и ряд существенно более общих задач. Задача о разбиении четного числа на сумму двух простых еще (1977) не решена.

Лит.:[11 Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975. А. А. Карацуба.