Векторное пространство это:

Векторное пространство
        математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторов обычного трёхмерного пространства.
         Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
         1) х + у = у + х (перестановочность сложения);
         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;
         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,
         5) 1 · х = х,
         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);
         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);
         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
         Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение
         α1e1 + α2e2 ++ αnen (1)
         называется линейной комбинацией векторов e1, e2,..., en с коэффициентами α1, α2,..., αn. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α1, α2,..., αn отличен от нуля. Векторы e1, e2,..., en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,..., en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,..., en называется линейно независимыми.
         Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
         В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,..., en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e1, e2,..., en — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
         x = α1e1 + α2e2 +... + αnen.
         При этом числа α1, α2,..., αn называются координатами вектора х в данном базисе.
         Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: λ 1, λ 2,..., λ n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
         (λ1, λ2, …, λn) + (μ1, μ2, …, μn) = (λ1 + μ1, λ2 + μ2, …, λn + μn);
         α(λ1, λ2, …, λn) = (αλ1, αλ2, …, αλn).
         Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., en = (0, 0,..., 1).
         Множество R всех многочленов α0 + α1u ++ αnun (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α0, α1,..., αn с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u2,..., un (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.
         Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2,..., un.
         Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' ⊆ R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v ∈ r' и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1, v2 ∈ R') вектор λv (при любом λ) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2,... xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида α1x1 + α2x2 ++ αpxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x1, x2,..., xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени ≤ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2,..., un), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.
         Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
         1) (х, у) = (у, х) (перестановочность);
         2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (распределительное свойство);
         3) (αx, у) = α(х, у),
         4) (х, х) ≥ 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0.
         Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством (См. Гильбертово пространство). Длина |x| вектора x и угол х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
        
         Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (λ1, …, λn) и y = (μ1, …, μn) соотношением
         (x, y) = λ1μ1 + λ2μ2 ++ λnμn. (2)
         При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.
         В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (λ1, …, λn) и y = (μ1, …, μn), как это следует из соотношения (2), имеет вид:
         λ1μ1 + λ2μ2 ++ λnμn = 0. (3)
         Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yn + a1(x) y (n + 1) ++ an (x) y = 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:
        
         Рассмотрим в евклидовом пространстве En векторы ai = (αi1, αi2, …, αin), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u1, u2,..., un). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов En, придадим системе (4) следующий вид:
         (ai, u) = 0, i = 1, 2, …, m. (5)
         Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов ai, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства (См. Линейное пространство). Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.
         Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.
         Э. Г. Позняк.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Векторное пространство" в других словарях:

  • векторное пространство — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=5045] векторное пространство линейное пространство Множество векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов… …   Справочник технического переводчика

  • Векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Векторное (линейное) пространство  основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства …   Википедия

  • векторное пространство — vektorių erdvė statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n; пространство векторов, n pranc. espace vectoriel, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • векторное пространство — математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений. * * * ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности… …   Энциклопедический словарь

  • векторное пространство — vektorinė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n pranc. espace vectoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — линейное пространство, над полем К, аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение удовлетворяющее следующим аксиомам Из аксиом 1) 4) вытекают следующие важные свойства векторного… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — (линейное про странство) (матем.), обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — над топологическим полем (т. п.), К векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение непрерывно; 2) отображение непрерывно (при… …   Математическая энциклопедия

  • Нормированное векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В нашем пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Векторное пространство» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»