Характер (в математике)

Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп.

В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует такое целое число k (период), что c(n + k) = c(n) для всех n. Наименьший из положительных периодов называется основным модулем характера c, а характер с основным модулем k обозначается c(n, k). Примерами Х. являются: 1) главный Х. по модулю k; c(n, k) = 0, если (n, k) > 1, и c(n, k) = 1, если (n, k) = 1, 2) c(n, k) = 0, если (n, k) > 1, c(n, k) = , если (n, k) = 1,

‒ Якоби символ, k > 1 ‒ нечётное натуральное число. Х. степени q по модулю k называется Х., равный единице для чисел и, для которых разрешимо сравнение xq º a (modk) (см. Степенной вычет). Такие Х. играют важную роль в теории алгебраических чисел. Многие вопросы теории чисел (например, вопрос о распределении простых чисел) связаны с изучением функций L (sc) =

(т. н. L-функций Дирихле). Частным случаем таких функций является дзета-функция x(s), для которой Х (n) º 1.

Условие периодичности c(n + k) = c(n) позволяет трактовать характеры c(n, k) при фиксированном k > 1 как функции, заданные на приведённой системе вычетов по модулю k, рассматриваемой как группа по умножению, и удовлетворяющие там функциональному уравнению:

c(ab) = c(a) c(b).

(1)

Такая трактовка понятия Х. позволяет непосредственно перенести его на любую конечную коммутативную группу G. При этом, если n ‒ порядок, e ‒ единица, a ‒ произвольный элемент группы G, то [c(a)] n = c(a n) = c(e) = 1, т. е. c(a) ‒ корень n-й степени из единицы: в частности

|c(a)| º 1.

(2)

Х. произвольной коммутативной группы G (не обязательно конечной) называют всякую функцию c(а), определённую на G и удовлетворяющую условиям (1) и (2). Если G ‒ топологическая группа, то требуют ещё, чтобы c(а) была непрерывна.

Совокупность всех Х. группы G образует группу G1, относительно обыкновенного умножения Х. как функций. Если G конечна, то G1 изоморфна G. Для бесконечных групп это уже, вообще говоря, неверно. Например, если G ‒ группа целых чисел, то её Х. служат c(n) = einj, где (j ‒ любое действительное число, приведённое по модулю 2p, так что группа Х. совпадает с группой вращений окружности. В свою очередь, группа Х. для группы вращений окружности совпадает с группой целых чисел [каждый такой Х. имеет вид: c(j) = einj]. Эта двойственность была обобщена Л. С. Понтрягиным на широкий класс групп и применена к решению важных проблем топологии (т. н. проблем двойственности для компактов).

Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М. ‒ Л., 1947; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.