Характер (в математике) это:

Характер (в математике)
Характер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп.

В теории чисел Х. называют функцию c(n) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm) = c(n)c(m) для всех n и m, 2) существует такое целое число k (период), что c(n + k) = c(n) для всех n. Наименьший из положительных периодов называется основным модулем характера c, а характер с основным модулем k обозначается c(n, k). Примерами Х. являются: 1) главный Х. по модулю k; c(n, k) = 0, если (n, k) > 1, и c(n, k) = 1, если (n, k) = 1, 2) c(n, k) = 0, если (n, k) > 1, c(n, k) = , если (n, k) = 1,

Якоби символ, k > 1 ‒ нечётное натуральное число. Х. степени q по модулю k называется Х., равный единице для чисел и, для которых разрешимо сравнение xq º a (modk) (см. Степенной вычет). Такие Х. играют важную роль в теории алгебраических чисел. Многие вопросы теории чисел (например, вопрос о распределении простых чисел) связаны с изучением функций L (sc) =

(т. н. L-функций Дирихле). Частным случаем таких функций является дзета-функция x(s), для которой Х (n) º 1.

Условие периодичности c(n + k) = c(n) позволяет трактовать характеры c(n, k) при фиксированном k > 1 как функции, заданные на приведённой системе вычетов по модулю k, рассматриваемой как группа по умножению, и удовлетворяющие там функциональному уравнению:

c(ab) = c(a) c(b).

(1)

Такая трактовка понятия Х. позволяет непосредственно перенести его на любую конечную коммутативную группу G. При этом, если n ‒ порядок, e ‒ единица, a ‒ произвольный элемент группы G, то [c(a)] n = c(a n) = c(e) = 1, т. е. c(a) ‒ корень n-й степени из единицы: в частности

|c(a)| º 1.

(2)

Х. произвольной коммутативной группы G (не обязательно конечной) называют всякую функцию c(а), определённую на G и удовлетворяющую условиям (1) и (2). Если G ‒ топологическая группа, то требуют ещё, чтобы c(а) была непрерывна.

Совокупность всех Х. группы G образует группу G1, относительно обыкновенного умножения Х. как функций. Если G конечна, то G1 изоморфна G. Для бесконечных групп это уже, вообще говоря, неверно. Например, если G ‒ группа целых чисел, то её Х. служат c(n) = einj, где (j ‒ любое действительное число, приведённое по модулю 2p, так что группа Х. совпадает с группой вращений окружности. В свою очередь, группа Х. для группы вращений окружности совпадает с группой целых чисел [каждый такой Х. имеет вид: c(j) = einj]. Эта двойственность была обобщена Л. С. Понтрягиным на широкий класс групп и применена к решению важных проблем топологии (т. н. проблем двойственности для компактов).


Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М. ‒ Л., 1947; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.


Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Характер (в математике)" в других словарях:

  • Характер (в математике) — Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю k (где целое число) комплекснозначная периодическая функция χ(n) на множестве целых чисел со следующими свойствами: | χ(n) | = 1, если n взаимно просто с k, и χ(n) = 0 в противном… …   Википедия

  • Бесконечность в математике — Бесконечность в математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции»… …   Большая советская энциклопедия

  • ФОРМАЛИЗМ в математике — одно из осн. направлений в основаниях математики (и логики), к рое в качестве гл. задачи в области обоснования математики считает доказательство непротиворечивости отд. математич. теорий и – в идеале – всей математики в целом. Задача эта… …   Философская энциклопедия

  • Центр (в математике) — Центр в математике, 1) Ц. симметрии геометрической фигуры ‒ такая точка О, что данная фигура вместе с точкой А всегда содержит и точку A , лежащую на прямой OA по другую сторону от точки О на расстоянии OA = OA. Кривые и поверхности, имеющие Ц.… …   Большая советская энциклопедия

  • Характер — В Викицитатнике есть страница по теме Характер Характер (общий термин; от греч …   Википедия

  • Характер — I Характер (от греч. charakter отпечаток, признак, отличительная черта)         в психологии, целостный и устойчивый индивидуальный склад душевной жизни человека, её тип, «нрав» человека, проявляющийся в отдельных актах и состояниях его… …   Большая советская энциклопедия

  • Техника и естествознание в Европе во второй половине XVII и в XVIII в. — В науке второй половины XVII в. окончательно победили гелиоцентрическая система, динамика Галилея и картезианская физика (т. е. физика Декарта и его последователей). По сравнению с первой половиной XVII в. научное представление о мире во многом… …   Всемирная история. Энциклопедия

  • Эллинистическая идеология и культура в III в. до н. э. — Общий характер культурного развития эллинистического периода В культурном развитии эллинистического мира обнаруживаются те же главные черты, которые характеризуют эллинистическую экономику, социальные отношения и политическое устройство. С одной… …   Всемирная история. Энциклопедия

  • Зарождение капиталистических отношений в Италии. Раннее возрождение — По уровню материальной и духовной культуры в период развитого феодализма достигли наибольшего расцвета те западноевропейские юсударства, в которых раньше всего создались условия, благоприятные для возникновения капиталистических отношений. Ранние …   Всемирная история. Энциклопедия

  • Бессель Ф. В. — Фридрих Вильгельм Бессель Friedrich Wilhelm Bessel Дата рождения: 22 июля 1784 Место рождения: Минден, Вестфалия сейчас Германия Дата смерти: 17 марта 1 …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Характер (в математике)» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»