Сопряжённые функции

        функции u (х, у), υ(x, у) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши — Римана (см. Коши—Римана уравнения (См. Коши - Римана уравнения));

        

        ;

         При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. u и υ являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x + iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

        

         т. е. являются гармоническими функциями (См. Гармонические функции). Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u (х, у)] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция υ(x, у), а тем самым и аналитическая функция f (x + iy). Например, если

        

        

         [φ = arg (х + iy)]

         — гармоническая функция в некотором круге , то С. ф.

        

         и

        

        Значения С. ф. на круге r = 1 являются периодическими функциями аргумента φ. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида

        

         называемые сопряжёнными тригонометрическими рядами.