Гармонические функции это:

Гармонические функции
        функции от n переменных (n ≥ 2), непрерывные в некоторой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа
         Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.
         Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.
         Наиболее важны для приложения к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, например, оси z, причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z), соответствующие Г. ф. от трёх переменных превращаются в Г. ф. от двух переменных х и у. Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциями (См. Аналитические функции) f (ξ) от комплексного переменного ξ = х + iy. А именно каждая Г. ф. от х и у есть действительная или мнимая часть некоторой функции f (ξ), и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитической функции суть Г. ф. от x и у. Например, х2—у2 и 2ху, будучи действительной и мнимой частями функции ξ2 = х2—у2 + 2ixy, суть Г. ф. Важнейшими задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в которых требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г. ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на который она натянута). Такова также задача Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (например, определение температуры внутри тела по заданному на поверхности градиенту температуры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).
         Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы, имеющие большое теоретическое значение. Например, для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. советских математиков. Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.
         Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, «Успехи математических наук», 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.—Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961.
         А. И. Маркушевич.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Гармонические функции" в других словарях:

  • ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — в музыке см. Функции тональные …   Большой Энциклопедический словарь

  • гармонические функции — (муз.), см. Функции тональные. * * * ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, в музыке см. Функции тональные (см. ФУНКЦИИ ТОНАЛЬНЫЕ) …   Энциклопедический словарь

  • Гармонические функции — …   Википедия

  • СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — гармонически сопряженные функции, пара действительных гармонич. функций (г. ф.) . и v, являющихся действительной и мнимой частями нек рой аналитич. ции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного z=x+iy г. ф. u=и( х, у …   Математическая энциклопедия

  • Функции ладовые —         в музыке, значение отдельных звуков в Ладу. Понятие Ф. л. наиболее разработано применительно к аккордам (гармонические функции) обозначает роль аккордов в ладовой организации. Различают два рода общих функциональных значений аккордов… …   Большая советская энциклопедия

  • Гармонические движения — простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Функции ладовые —         значения звуков и созвучий в ладу (высотной системе). Ф. л. представляют собой проявление муз. смысловых связей, посредством к рых достигаются логичность, слаженность муз. целого. В традиции рус. терминологии лад обычно трактуется как… …   Музыкальная энциклопедия

  • ФУНКЦИИ — (тональные гармонические ф.), так называет Г. Риман те разнообразные значения, которые может иметь для гармонической логики музыкального произведения каждый аккорд, смотря по своему отношению к данной тонике. В своем сочинении Упрощенная гармония …   Музыкальный словарь Римана

  • Аналитические функции —         функции, которые могут быть представлены степенными рядами (См. Степенной ряд). Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в… …   Большая советская энциклопедия

  • Субгармонические функции —         функции, удовлетворяющие в некоторой области неравенству                  .         В случае, когда Δf = 0, функция f является гармонической функцией (См. Гармонические функции). Понятие С. ф. можно рассматривать как обобщение понятия… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Гармонические функции» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»