Рациональная функция это:

Рациональная функция
        функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:
        
        где a0, a1, ..., an и b0, b1, ..., bm (a0 ≠ 0, b0(0)— постоянные, a n и m — неотрицательные целые числа. Р. ф. определена и непрерывна для всех значений х, кроме тех, которые являются корнями (См. Корень) знаменателя Q (x). Если ξ — корень кратности k знаменателя Q (x) и одновременно корень кратности r (r k) числителя Р (х), то R (x) имеет в точке ξ устранимый разрыв; если же r < k, то R (x) имеет в точке ξ бесконечный разрыв (полюс). Многочлен является частным случаем Р. ф. (при m = 0), поэтому многочлены иногда называются целыми Р. ф.; всякая Р. ф. есть отношение двух многочленов. Др. примером Р. ф. может служить Дробно-линейная функция.
         Если в формуле (1) n < m (m > 0), то Р. ф. называется правильной; если же n m, то R (x) может быть представлена в виде суммы многочлена M (x) степени n — m и правильной Р. ф. R1(x) =
         R (x) = М (х) + R1(x),
        многочлены М (х) и P1(x) (степень последнего меньше m) однозначно определяются из соотношения
         Р (х) = M (x) Q (x) + P1(x)
        (формула деления многочлена с остатком).
         Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметических операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в которых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная
        
        также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R1(x) на простейшие дроби:
        
        
        
        где x1, ..., xs — различные корни многочлена Q (x) соответственно кратностей k1, ..., ks (k1 + ... + ks = m), a Aj(i) постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P1(x) и Q (x) действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q (x) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:
        
        где трёхчлен x2 + px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4q > p2).
         Для определения коэффициентов Aj(i), Bj и Dj можно воспользоваться неопределенных коэффициентов методом (См. Неопределённых коэффициентов метод). Интегралы от простейших дробей
         не являются Р. ф
        не являются Р. ф
        
         а интегралы от простейших дробей
        а интегралы от простейших дробей
        
        при k > 1 являются: первый — Р. ф., а второй — суммой Р. ф. и интеграла такого же вида, как при k = 1. Т. о., интеграл от любой Р. ф. (не являющейся многочленом) представляется в виде суммы Р. ф., арктангенсов и логарифмических функций. М. В. Остроградский дал алгебраический метод определения рациональной части интеграла от Р. ф., не требующий ни разложения Р. ф. на простейшие дроби, ни интегрирования (см. Остроградского метод).
         Р. ф. являются весьма важным классом элементарных функций (См. Элементарные функции). Рассматриваются также Р. ф. нескольких переменных; они получаются в результате конечного числа арифметических операций над их аргументами и произвольными числами. Так,
        
        даёт пример Р. ф. двух переменных u и υ.
         В середине 20 в. Р. ф. нашли широкое применение в вопросах приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций).

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Рациональная функция" в других словарях:

  • Рациональная функция — Рациональная функция  это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где   ,     многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… …   Википедия

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным x и произвольными числами; имеет вид: R(x) = P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) многочлены от x …   Большой Энциклопедический словарь

  • рациональная функция — функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами; имеет вид: R(х) = Р(х)/Q(х), где P(х) и Q(х)  многочлены от х. * * * РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ… …   Энциклопедический словарь

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, получающаяся в результате конечного числа ариф метич. операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами; имеет вид: R(x) = P(x)/Q(x), где Р(х) и Q(x) многочлены от х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — см. Рациональная функция …   Математическая энциклопедия

  • ЦЕЛАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — (алгебраический) многочлен, (алгебраический) полином, функция вида где п целое неотрицательное, коэффициенты а 0, . . ., а п действительные или комплексные числа, z действительное или комплексное переменное. Если пназ. степенью многочлена,… …   Математическая энциклопедия

  • Целая рациональная функция —         алгебраический многочлен, т. е. функция вида          w = a0 + a1z + a2z2 +... + anzn.          См. Многочлен …   Большая советская энциклопедия

  • Рациональная интерполяция — (интерполяция рациональными функциями)  представление интерполируемой функции (точнее говоря, ряда табличных значений) в виде отношения двух полиномов. Ряд функций, плохо интерполируемых полиномиальными методами, удаётся хорошо приблизить… …   Википедия

  • Рациональная дробь — Рациональная дробь  это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями.… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Рациональная функция» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»