Неопределённых коэффициентов метод это:

Неопределённых коэффициентов метод
        метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь
         может быть представлена в виде суммы
        может быть представлена в виде суммы
        
        где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:
        
        и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:
         (А + В + С) х2 + (В - С) х - А = 3x2 - 1.
        Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,
         справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь
        справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь
         в виде
        в виде
        
        где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому
         или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:
        или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:
        
         Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2B + 3C = 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D = —1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В =1/2, С = 0, D = 1/2, т. е.
         В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения
         В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения
         было взято выражение
        было взято выражение
        
        то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, —A - B = 1, A + C = 1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.
         Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда
         у = х + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + ․․․.
        Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" — выражение
         2c2 + 3·2с3х + 4·3с4х2 + 5·4с5х3 + ․․․,
        затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают
         2c2 + 3·2c3x + (1 + 4·3c4) x2 + (c2 + 5·4c5) x3 + ․․․ = 0,
        откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c2 = 0; 3·2с3 = 0; 1 + 4·3c4 = 0; c2 + 5·4c5 = 0;...
        Решая последовательно эти уравнения,
         т. е.
        т. е.
        
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Неопределённых коэффициентов метод" в других словарях:

  • Метод неопределённых коэффициентов — ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые… …   Википедия

  • метод неопределённых коэффициентов — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN method of undetermined coefficients …   Справочник технического переводчика

  • Метод неопределенных коэффициентов — Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с… …   Википедия

  • Остроградского метод —         метод выделения рациональной части неопределённого интеграла                  где Q (x) многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х) многочлен степени m ≤ n 1.          О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой… …   Большая советская энциклопедия

  • Приближённое решение —         дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.          П. р. дифференциальных уравнений в… …   Большая советская энциклопедия

  • Рациональная функция —         функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:                  где a0, a1, ..., an и b0, b1, ..., bm (a0 ≠ 0, b0(0)… …   Большая советская энциклопедия

  • Методы интегрирования — Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций  дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Содержание 1… …   Википедия

  • Интегрирование рациональных дробей — Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций  дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Иногда выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Содержание 1… …   Википедия

  • Рациональная функция — Рациональная функция  это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где   ,     многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… …   Википедия

  • Математика —          I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.          «Чистая …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»