Неявные функции это:

Неявные функции
        функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение
         x2 + y2 - 1 = 0
        задаёт Н. ф.
         y = у (х),
        соотношения
         x = ρcosφsinϑ, y = ρsinφsinϑ, z = ρcosϑ
        задают Н. ф.:
         ρ = ρ(x, у, z), φ = φ(x, y, z), ϑ = ϑ(х, у, z).
        В простейших случаях соотношения, задающие Н. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций (См. Элементарные функции), т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:
         а во втором:
        а во втором:
        
         Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Н. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Н. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x2 + y2 + 1 = 0 не задаёт Н. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же exy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F (x, y) обращается в нуль при паре значений х = x0, у = y0 [F (x0, y0) ≠ 0] и дифференцируема в окрестности точки (x0, y0), причём F’x (х, у) и F’y (х, у) непрерывны в этой окрестности и F’y (x0, y0) ≠ 0, то в достаточно малой окрестности точки x0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х), удовлетворяющая соотношению F (x, y) = 0 и обращающаяся в y0 при x = x0; при этом y'(x) = —F’x (x, y)/F’y (x, у).
         Для приближённого вычисления значений Н. ф. вблизи точки x0, где её значение y0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F (x, у) аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки (x0, y0) в сходящийся двойной степенной ряд] и F’y (x0, y0) ≠ 0, то Н. ф., заданная соотношением F (x, y) = 0, может быть получена в виде степенного ряда
        
        сходящегося в некоторой окрестности точки х = х0. Коэффициенты ck, k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F (x, у) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н. ф. задана соотношением
         y5 + xy - 1 = 0, x0 = 0, y0 = 1,
        то
         и
        и
         откуда
        откуда
         c0 = 1, c1 = —1/5c0-3, c2 = —2c12c0-11/5c1c0-4 = —1/25 и т.д.
         Если соотношение F (x, у) = 0 может быть представлено в виде у = а + хφ(у), где φ(y) — аналитическая функция, то Н. ф. у = у (х), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа
        
        сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + xsiny (так называемое Кеплера уравнение) можно получить:
         Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.
         Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Неявные функции" в других словарях:

  • Параметрическое представление функции — Параметрическое представление разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину параметр. Содержание 1 Параметрическое представление функции 2 Параметрическое представление урав …   Википедия

  • Параметрическое представление —         функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных Параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х, у) = 0 может быть геометрически истолкована как… …   Большая советская энциклопедия

  • Числовая функция — В математике числовая функция  это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств  как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел . Содержание 1 График функции …   Википедия

  • Параметрическое представление — Пример параметрической кривой. Параметрическое представление  используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается …   Википедия

  • Якобиан —         функциональный определитель ∣aik∣1n с элементами yi = fi (X1,..., Xn), l ≤ i ≤ n, функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:                  .          Введён К. Якоби (1833, 1841). Если,… …   Большая советская энциклопедия

  • Еругин, Николай Павлович — [р. 1 (14) мая 1907] сов. математик, акад. АН БССР (с 1956). Чл. КПСС с 1942. В 1932 окончил Лен. ун т. С 1934 преподавал там же (с 1943 проф.). В 1939 41 и 1951 57 работал в Лен. отделении Математич. ин та АН СССР. С 1957 работает в Ин те физики …   Большая биографическая энциклопедия

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ — дефиниция (лат. defenitio ограничение) логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Напр., обычное определение термометра указывает, что это, во первых, прибор и, во вторых, именно тот, с помощью которого измеряется температура. Важность …   Философская энциклопедия

  • ЗНАНИЕ НЕЯВНОЕ —         скрытое, молчаливое, имплицитное (от лат. implicite в скрытом виде, неявно; противоположное explicite), периферийное в отличие от центрального, или фокального, т.е. находящегося в фокусе сознания. Эмпирич. базис личностного молчаливого… …   Энциклопедия культурологии

  • Разностная схема — Разностная схема  это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… …   Википедия

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ, — ОПРЕДЕЛЕНИЕ, дефиниция (от лат. «definitio» – «предел», «граница») – логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. Т.к. значения терминов зависят от их смыслов, то всякий раз, придавая через определение какой либо… …   Философская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Неявные функции» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»