Параметрическое представление функции

Параметрическое представление — разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

$x=\varphi(t)~;~$  $~y=\psi(t)$

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как^[1]:

$~y=\psi(\theta(t))=f(x)$

и производная функции может быть вычислена как

$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

Параметрическое представление уравнения

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны отношением в виде уравнения (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Примеры

Уравнение окружности имеет вид:

$x^2 + y^2 = r^2.\,$

Параметрическое представление окружности:

$~x = \cos~t~$$;~y = \sin~t$

Уравнение гиперболы описывается уравнением:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Параметрическое представление гиперболы (точнее, её ветви x > 0):

$~x = a~\operatorname{ch}~t~$$~;~y = b~\operatorname{sh}~t$

Ссылки

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.

Примечания

1. ↑ Г.М.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Том I. Москва 1969 г. Стр 218